• 締切済み

次のことを説明してください

出来るだけ定義、具体例、応用などを含ませてください。 説明できるものだけでいいです。 (1)数学における無限 (2)数の体系 (3)素数とメルセンヌ数 (4)テイラーの定理 (5)集合と論理 (6)パラドックス (7)フラクタル (8)位相幾何学(トポロジー)

みんなの回答

  • B-juggler
  • ベストアンサー率30% (488/1596)
回答No.1

なんかたくさんあげてあるようだけど。 代数学の元非常勤です。正直に言うと 「何を考えているの?」 というのが感想です。 数学を学んでいないのかな? 少し調べたら、でてきそうな問題が多いのだけどね・・・・。 まず、自分で調べられるところまで調べてみて、分からないところを聞くのはどうだろうね。 人に頼る癖がつくと、抜けなくなるよ~。 (5)、(6)、(8)は、説明するだけで一冊本が書ける内容です。  #ここで回答できるようなものではない。 あとのは、少し検索すれば見つかる気がするけどね。 フラクタルも、充分書けるかな? まず自分で調べる、その前にまず「学ぼうとする」姿勢を作ってくれるかな? これではどうしようもない。 ヒントも書けないというのは初めてかもしれない。 「素数」だけ書くか。さわりだけね。 「1と自分自身以外に約数を持たないもの」で終わり。 性質が少しあるけど。4n+1型 と 4n-1型 に大きく分かれます。 4n+1型は a^2+b^2 (a,bは互いに素、かつ自然数)と表せます。  -1 型 は自分で調べてね。 メルセンヌ数は (2^n)-1 で表す数字のこと。  #nは自然数。 nが素数の場合は、メルセンヌ素数と呼ばれ、素数になることが知られています。  #詳しくは調べること! (=^. .^=) m(_ _)m (=^. .^=) >説明できるものだけでいいです。 これは、すごく失礼だから、書かないように!

全文を見る
すると、全ての回答が全文表示されます。

関連するQ&A

  • メルセンヌ素数でない素数は無限に存在するか?

    素数は無限に存在することが知られています。 ユークリッドやオイラーの証明があります。 また、コンピュータでは、大きい素数を探すときに、 メルセンヌ素数を探します。 しかし、メルセンヌ素数は無限にあるかどうかわかりません。 ここで、質問です。 メルセンヌ素数でない素数は、無限にあるのでしょうか? 素数はメルセンヌ素数かメルセンヌ素数でない素数のどちらかです。 その二種類を合わせると、無限個ありますから、 メルセンヌ素数が有限個ならば、メルセンヌ素数でない素数は無限個あるとわかります。 でも、メルセンヌ素数は有限個しか見つかっていないだけで、 本当に有限個かどうかはわかりません。 メルセンヌ素数でない素数が無限個あるかどうかもわからないのではないでしょうか? それとも、他の方法で、わかるのでしょうか? 例えば、メルセンヌ数(素数とは限らない)とメルセンヌ数(素数とは限らない)の間には、 2個以上のメルセンヌでない素数が存在することがわかっているとか。 でも、ずっと先に行くと、素数はすべてメルセンヌ素数になっているということは 考えられないでしょうか? しかし、双子素数が無限に存在するならば、メルセンヌ素数でない素数が無限に存在しそうですね。 双子素数より弱くても、よさそうですね。 素数分布とか考えると、どうなるのでしょうね。 やっぱり、メルセンヌ素数でない素数は無限個あるような気がしてきました。

  • 数学の体系

    数学の体系を次のように考えていますが、 どのような体系がいいですか できるだけ整理したいのですが よろしくお願いします mm(__)mm ______________ 数学より基礎部分  哲学  超数学 etc ______________ 数学の部分  論理学  集合論  位相空間論  代数学(群・・加群、体)   加群→線型代数  実数論   連続の公理・定理の関係   数ベクトル(ex 複素数、四元数)   行列としての数ベクトル  実数列・級数の理論  実関数の理論  位相幾何学  微分・積分  微分幾何学  確率論   確率分布   確率過程  関数解析   バナハ・ヒルベルト空間→関数空間  関数方程式・微分方程式 こうやってみると、数学の体系もまだまだ整理する余地があると思います

  • 述語論理におけるコンパクト性 いくらでも大きい有限

     述語論理のコンパクト性より  「論理式の集合△は、いくらでも大きな有限集合を議論領域とするモデルによって充足可能ならば、△は無限集合を議論領域とするモデルによって充足可能である」 というものが、出てきますが、 そもそも、このいくらでも大きい有限集合と無限集合とは異なるものなのでしょうか(同じ意味ならば上の定理は何もいってないことになりますよね)。無限集合の定義というのがZFCの無限公理からのものなら帰納的に定義されているものなので、それならいくらでも大きい有限(k→k+1をいえる)というのと同じなのではないですかね・・・。  また、上の証明では Anを「すくなくともn個のものがある」 たとえばA2は「∃x1∃x2(x1≠x2)」などとして △∪{A1,A2,A3,A4,A5・・・An・・・} を考えるわけですが・・・の部分はこのままでは無限の論理式を含んだ形になっています、がこれも無限の論理式をそのまま考えることはできないので「無限個の論理式とはどういう意味か」に相当する(おそらくメタ的な)定義があると思うのですが、それはそういったものでしょうか。もしくはそういう定義がないとすると、どう考えればいいのでしょうか。  質問としては、集合のレベルでの無限といくらでも大きい有限とは異なるものなのかということと、論理式の数においてその数が無限とはどういうことを指しているのかということです。  コンパクト性などはモデルと論理式の両方にまたがるメタ的定理なので、その内容に現れる無限という言葉は(「集合における無限」、「論理式の数における無限」として)それぞれの体系での意味としてとらえる必要があるにも関わらず日常語の意味(限りがないというラフな使い方)にひっぱられていることが私の混乱の原因としてあると思うのですが、この分野に明るい方いらっしゃいましたらご回答ください。よろしくお願いします。

  • 私が知りたいのは ゲーデルの不完全性定理の幾何学での理解です。

    私が知りたいのは ゲーデルの不完全性定理の幾何学での理解です。 (1)第2不完全性定理では 次の表現があり『公理系Nにおいて、その無矛盾性を証明することは不可能である』、そのなかで問題として『 真であるが証明不可能な主張とは何か。』に対して 答え『公理』とあり 自己言及を表現していることは 理解し易いのです。幾何学では5公理です。この理解はたぶん正しいと思います。 ところが (2)私がよく分らないのは 第1不完全性定理です。『形式的体系Sにおいて、形式的体系Sが無矛盾である限り、「形式的体系Sにおいて命題は証明可能である。」という命題も「形式的体系Sにおいて命題は証明不可能である。」という命題も証明不可能である。』 と表される(別表現もありますが)とあります。 ここで現れる命題は抽象的言語であってよく分らないのです。例えばユークリッド幾何学においてはこの具体例は何でしょうか。私の理解は 「例えば無限遠点において平行線は交わるは証明可能である」はその例のようにおむのですが。つまり 例題には ユークリッド幾何学では未定義の無限遠点が現れており 証明はできない のです。いくら公理を増やして定義を明白にしても 未定義の領域はある ということです。 もう一つの例ですが 無限遠点は扱わないという6番目の公理を追加したとしても 例えば 「X・X=-1 は根がない は証明可能である」も証明できない と思うのです。なぜなら複素数は未定義だからです。つまり 『公理で定義されても未定義域は必ずある』が第一不完全性定理の一つの別表現ではないか と思うのです。この理解が間違っているのかどうか どなたかにお教えて頂きたかったのですが 

  • ユークリッド幾何学にまつわる不完全性定理的理解について

    ユークリッド幾何学にまつわる不完全性定理的理解について ゲーデルの不完全性定理の対象となる数学は『公理系Nが無矛盾である』が前提です。ユークリッド幾何学は 一階述語論理で表されることが出来る自然数の部分集合であって、ゲーデルの不完全性定理の対象である 公理Nの無矛盾である 論理の対象になってないとなり それ以上のユークリッド幾何学の論理的理解が進みません。そこでゲーデル理解を拡張して『公理系Nが無矛盾ではない』として不完全性定理を理解すると(須田隆良氏、中西章氏など) (1)ゲーデルの第一不完全性定理の解釈==>公理系Nが無矛盾であろうがなかろうが 公理系Nにおいて、「公理系Nにおいて命題は証明可能である。」という命題も、「公理系Nにおいて命題は証明不可能である。」という命題も証明不可能である (2)第2不完全性定理の解釈==>公理系Nが無矛盾であろうがなかろうが その無矛盾性を証明できない となります。これらはゲーデル不完全性対象から外れておりますが、対象外のユークリッド幾何学を理解するには都合がよい と思うのです。 (2)によりユークリッド幾何学の公理の無矛盾性は証明できない。 (1)によりユークリッド幾何学の未定義領域(非ユークリッド幾何学、虚数、無限遠点とか)は 公理系Nにふくまれ 多くの証明できない命題があることになります。もちろん 公理定義内では完全性理論は保証されています。 なぜ このようなユークリッド幾何学に こだわる かと申しますと 世の中の 論理(数学、哲学、論理を用いた論文 など)は ユークリッド幾何学的なものが 圧倒的に多いと思うのです。これら論文は ほとんどは一階述語理論で表され かつ ゲーデル不完全性定理 対象論理ではないのです。それら論文の特に(2)に関わる自己証明は出来ない ということは重要であると思うのです。もちろん 自己証明が出来ないと言って間違いとはなりません が 常に 冷静に謙虚に 主張理論の原点を見直すことに 繋がっていると思うのです。勿論、論理構成が出来ていないシロモノは 論外であります。    以上のように理解しているのですが、ユークリッド幾何学にまつわるゲーデル不完全性定理の場外理解は問題ないでしょうか。諸先生のコメント頂けましたら幸甚です。

  • ブノワ・マンデルブロが導入した幾何学の概念であるフラクタルの定義を判りやすく説明してください。

    フランスの数学者ブノワ・マンデルブロが導入した幾何学の概念であるフラクタルの定義を判りやすく説明してください。 この前、理学部の院生の方に「フラクタル」って何か教えてもらいました。(専門外のわたしには「へえー」と思うような、たのしい出会いでした。こういう時間ってたのしい 例として挙げてもらったのは、海岸線の計測で、巨視的に描けばほぼ直線になるが、海岸線は微視的にみると複雑に入り組んだ形状をしているが、これを拡大するとさらに細かい形状が見えてくるようになり…対して、地図上の海岸線は、拡大するにしたがって、その細部は変化が少なくなり、なめらかな形状になっていく。理論的には海岸線の計測値は無限であると言える。)。フラクタルとは「図形の部分と全体が自己相似になっているものなどをいう」 ここらへんまでは直感的に判ったのですが、「海岸線の計測地が無限なわけないでしょ」と思ってしまい、いろいろ聞いているうちに、答えるほうもわたしが判んないもんだから機嫌わるくなっていき。終了。悲劇的結末(汗) 彼は(ほんとはすごく良い人なんだけど)やけくそになって、マンデルブロはフラクタルを「ハウスドルフ次元が位相次元を厳密に上回るような集合」と定義したなんて言ったけど、わかんない。もっとわかりいやすい言葉で定義できないのですかね。(できると思うけど) ついつい、わたしの専門外のことに興味をもってしまい。聞きこむとが多いのですが、わたに捕まって応えてくれる人たち(ちょっと年配のお兄さんたち)が基礎的な知識なないわたしに理解させようとするのは至難の業のようです(すいません)「あなたの設問そのものが成立してない」なんてしかられる。 フラクタルな性質を持っているといわれる株価や人体の血管、腸の内部構造などの例をあげて説明してくださり、上記のマンデルブログの定義をわたしにもわかる言葉で教えて下さったら、嬉しいです。 わたしの周りにいる理学部のお兄さんたちより、やさしいお兄さんたちがこの世界にたくさん居られることを信じて期待いたしてお待ちしています。どうぞ、よろしくお願いいたします。

  • 素数定理をこのように解釈しても良いか。

    素数定理とは、 「大きな自然数xが素数である確率は1/(log x)」 という物ですが、これを元に次の事が言えるでしょうか? 1 2と5を除けば素数は一の位が1,3,7,9の   どれかになり、各グループの素数は無限個ある。 2 素数が現れる確率は4つのグループそれぞれで   等しい。 直感的にはどちらも正しいような気がしますが いかがでしょうか? 1に関してですが素数が無限個あることの証明は、 非常に簡単です。有限個だとしたらそれらの全ての 積に1を加えたものも素数になってしまうので 素数は、無限個あります。しかし各4つのグループ ごとにある事を証明しようとするとちょっと手が 止まってしまいます。 2は、完全にお手上げです。素数定理には、 一の位が何であるかで場合分けしていないので まぁ正しいような気がしますが。。。 どなたかご意見お願いします。

  • 数学を独学で学ぶにあたって

    最近、数学(大学以上の内容)を独学で勉強しようと思いました。 そこで、自分なりに調べて見たものとして  基礎論?(論理学、集合論、自然数論)  代数学(線形代数、抽象代数、ブール代数、整数論、群論)  解析学(微分方程式、位相解析、測度論、複素関数論、変分)  幾何学(ユークリッド幾何、非ユークリッド幾何、解析幾何、射影幾何、微分幾何)  トポロジー(位相空間、多様体、グラフ理論) のようなものがありました。 分類すること自体にあまり意味はないのかもしれませんが、 すでにここに挙げたものについて言葉がおかしいものや まだ名前の挙がっていないものでこういった学問がある などアドバイスしてください。 また、先にこれは学んでいたほうがよいというような ものがあれば教えていただけると嬉しいです。 私は物理学を修了しているので多少数学はやっていましたが、 数学屋さんから見ると穴だらけの数学のような気もするので、 大学初年度の線形代数くらいから もう一度きっちり抑えていくくらいの気持ちではいます。

  • 有理数集合の濃度は非可算?!

    有理数集合の濃度は非可算?! 有理数集合Qの濃度は可算ですが、以下のように考えたところQ(の部分集合)が非可算無限集合になってしまいました。 どこが誤りかご教授願います。 正の有理数は素数のベキを用いて 2^α×3^β×…(α,β,…∈Z) で一意的に表される。 素数の個数は可算無限個なので Q+とZの可算無限個の直積が一対一対応する。 このときZも可算無限集合なので、可算無限集合の可算無限直積で非可算無限集合になる。 よってQ+は非可算無限集合である。

  • 素数定理では満足できない

    π(N)≒N/logN この素数定理、今もって、極めて有名・有意義な式らしいですね。 例えばN=100万のとき、左辺は78,498、右辺は72,382・・・だそうです。結構誤差がありますね。 しかし、この素数定理は、Nがとてつもなく大きくなると、極端に言えば無限大だとすると、「≒」が「=」となる、と言っているんでしたよね。すばらしい発見です。 が、裏を返せば、無限大まではいかないけどとてつもなく大きなN、例えば10の1億乗までには何個の素数があるかとなると、やはり上式による限りは近似値しか得られません。 そこで質問ですが、いかなる大きさであろうとも、有限の値Nに対し、近似値ではなく正確な個数π(N)を表す式は発見されていないのでしょうか。