最大・最小について

質問

最大と最小について教えてください。

回答No.1

ferien · ベストアンサー

微分して、自分で増減表を作って調べてください。

（１）ｆ（ｘ）＝ｘ（logｘ）^2　０＜ｘ＜１
ｆ'（ｘ）＝１・（logｘ）^2＋ｘ・２（logｘ）・（１／ｘ）
＝logｘ＋２logｘ
＝logｘ（logｘ＋２）　
ｆ'（ｘ）＝０とおくと、logｘ≠０（０＜ｘ＜１）だから、
logｘ＝－２　より、ｘ＝ｅ^(-2)＝１／ｅ^2
増減表より、
ｘ＝１／ｅ^2のとき極大値で、０＜ｘ＜１では、最大値
よって、最大値ｆ（１／ｅ^2）＝４／ｅ^2

（２）ｆ（ｘ）＝ｘ－sin（２ｘ）　０≦ｘ≦π
ｆ'（ｘ）＝１－２cos（２ｘ）
ｆ'（ｘ）＝０より、cos（２ｘ）＝１／２　だから、２ｘ＝π／３より、ｘ＝π／６
増減表より、
ｘ＝π／６のとき極小値ｆ（π／６）＝（π／６）－√３／２
区間の端の値も調べると、
ｘ＝０のとき、ｆ（０）＝０
ｘ＝πのとき、ｆ（π）＝π　
よって、最大値はｆ（π）＝π，最小値はｆ（π／６）＝（π／６）－√３／２

回答No.2

muturajcp

(1)
0<x<1
logx<0
f(x)=x(logx)^2
f'(x)=(logx)(2+logx)
0<x<1/e^2のときf'(x)>0だからf(x)は増加
f(1/e^2)=4/(e^2)
1/e^2<x<1のときf'(x)<0だからf(x)は減少
だから
最大値f(1/e^2)=
4/(e^2)

(2)
0≦x≦π
f(x)=x-sin(2x)
f'(x)=1-2cos(2x)
f(0)=0
0≦x<π/6のときf'(x)<0だからf(x)は減少
f(π/6)=(π/6)-{(√3)/2}
π/6<x<5π/6のときf'(x)>0だからf(x)は増加
f(5π/6)=(5π/6)+{(√3)/2}
5π/6<x≦πのときf'(x)<0だからf(x)は減少
f(π)=π
f(π/6)<f(0)=0<π=f(π)<f(5π/6)
だから
最大値f(5π/6)=
(5π/6)+{(√3)/2}
最小値f(π/6)=
(π/6)-{(√3)/2}