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最大値と最小値
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昨夜は、ゴメン。少し、飲みすぎたようだ。。。。w 罪滅ぼしに 正解を書いておく。 cosx-sinx=t ‥‥(1)とすると、0≦x≦πから t=cosx-sinx=√2*cos(x+π/4)。0≦x≦π → π/4≦x+π/4≦5π/4 だから、1-≦cos(x+π/4)≦1/√2。つまり、t=√2*cos(x+π/4)→ -√2≦t≦1 。 (1)を2乗すると 1-2sinxcosx=t^2 であるから、1-2sinxcosx+(cosx-sinx)^3=t^2+t^3より、f(t)=t^2+t^3 の最大値と最小値を、-√2≦t≦1 で考える f´(t)=3t(t+2/3)であるから、-√2≦t≦1 の範囲で増減表を書くと t=1で最大値は2、t=-√2で最小値は 2-2√2 になる。 次に、f(1)=2の時、つまり cosx-sinx=1 よりこの三角方程式を0≦x≦πの範囲で解く。 f(-√2)=2-2√2の時、つまり cosx-sinx=-√2 よりこの三角方程式を0≦x≦πの範囲で解く。
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- info22
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#5です。 A#5の補足の質問の回答 >(√2)cos(x+(π/4))のところは >(√2)sin(x+(3π/4))ではないのでしょうか? どちらも正しいですよ。 こんなことは基本的なことですから覚えておいて下さい。 合成はsinでもcosでもできることをこの際覚えて下さい。 (√2)sin(x+(3π/4))=(√2)cos(x+(π/4)) です。 展開してみてください。同じになりますから。 (√2)sin(x+(3π/4))=(√2){sin(x)cos(3π/4)+cos(x)sin(3π/4)} =-sin(x)+cos(x) (√2)cos(x+(π/4))=(√2){cos(x)cos(π/4)-sin(x)cos(π/4)} =cos(x)-sin(x)
お礼
理解しました。 ありがとうございます。
- info22
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t=cos(x)-sin(x)=(√2)cos(x+(π/4))とおくと 0≦x≦πから -√2≦t≦1…(1) x=0の時 t=0 x=3π/4の時 t=-√2 f(x)=t^2+t^3=(t+1)t^2=g(t)…(3)とおくと g(t)=(t+1)t^2 (-√2≦t≦1) …(4) の最大値、最小値を求める問題になりますね。 増減表を作って解けば良いですね。 そうすると最小値はg(-√2),最大値はg(1)となりますね。 増減表以降でわからなければ、補足質問して下さい。
補足
すみません。増減表以前でわからなかったことがあったのですが、 t=cos(x)-sin(x)=(√2)cos(x+(π/4)) 上記の式は三角関数の合成を使ったと思うのですが、 (√2)cos(x+(π/4))のところは (√2)sin(x+(3π/4))ではないのでしょうか?
- mister_moonlight
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>1-2sinxcosx+(cosx-sinx)^3=1-2sinxcosx++(cosx-sinx)*(1+sinxcosx)がわかりません。 (cosx-sinx)^3を cosx^3x-sinx^3x と見間違ってた。
お礼
いえ、解き方を教えてくださっていただきありがとうございます。
- mister_moonlight
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>1-2sinxcosx+(cosx-sinx)^3=t^2+t^3ではいけないのでしょうか? その通りだね。いったい、何を考えたんだろう。我ながら、嫌になる。。。恥 計算ミスはいつもの事なんだが。。。。
- mister_moonlight
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>どうして-1/√2≦t≦1/√2になるかわかりません ごめん、ミスった。 t=cosx-sinx=√2*cos(x+π/4)。0≦x≦π → π/4≦x+π/4≦5π/4 だから、t=√2*cos(x+π/4)の値の範囲は?
補足
-1/√2≦t≦1/√2ですか? それともう一つ 1-2sinxcosx+(cosx-sinx)^3=1-2sinxcosx++(cosx-sinx)*(1+sinxcosx) がわかりません。 1-2sinxcosx+(cosx-sinx)^3=t^2+t^3 ではいけないのでしょうか?
- mister_moonlight
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微分をつかうにしても。。。。 cosx-sinx=t ‥‥(1)とすると、0≦x≦πから -1/√2≦t≦1/√2 。 (1)を2乗すると 2sinxcosx=1-t^2 であるから、1-2sinxcosx+(cosx-sinx)^3=1-2sinxcosx++(cosx-sinx)*(1+sinxcosx)=t^2+t*(3-t^2)/2=(1/2)*{2t^2+3t-t^3}であるから、2t^2+3t-t^3 の最大値と最小値を、-1/√2≦t≦1/√2 で考える。 実際の計算は自分でやって。 それと、計算に自信ないから、チェックしてね。
補足
すみません。 どうして-1/√2≦t≦1/√2になるかわかりません。 本当に申し訳ないですが教えてください。
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