fundamental orthogonality

質問

群論を勉強していてfundamental orthogonality　relationなるものが出てきました。

U_νとU_μを２つの同値でない既約表現を伴うG-moduleがあって、AをU_ν→U_μの線形写像として演算子
B=Σ(T^μ(g))A(T^ν(g^-1))　　（Σは常にgに関する和です）
を定義します。Tは既約表現に対応する線形演算子です。このとき(T^μ(h))B=B(T^ν(h))となるのでμ≠νならSchurの補題よりB=O、μ＝νならもう一つのSchurの補題からB=λEとなります。よってTに対応する行列Dを用いて
B=Σ(D^μ(g))A(D^ν(g^-1))=(λ^μ_A)δ^{μν}・１
と書けます。AをA_{lm}=δ_{lr}δ_{ms}とすると...

という流れで議論が進んでいるのですが、この辺りでついていけなくなります。
２つのUというのは一般には次元も異なると思います。次元が同じだとしても異なる線形空間だと理解しています。(μ＝νのときのみ同じ空間）

一つ目の質問は、μとνは規約表現のラベルにも使われていますが、U^μに対して既約表現というのは一つしかなくT^μしかないのでしょうか？

二つ目の質問はAという線形写像は一般には次元も異なる線形空間の間の写像を与えるはずですが、それは行列で書けるのでしょうか？それともAを行列化したところで右辺はμ＝νでしか効いてこないので次元は等しいと見ているのでしょうか？

回答No.4

ramayana · ベストアンサー

G-moduleの定義をお互いにすり合わせる作業をした方がいいかもしれませんね。

私が勉強したテキスト（Serge Lang "Algebra" Addison-Wesley 1965）では、次のようにG-moduleが定義されています。

「Gを群、Eを線形空間、EからEへの線形写像全体をAut(E)、ρをGからAut(E)への１つの準同型とするとき、このEとρのペア(E, ρ)をG-moduleという。また、このρのことを、Eの中でのGの"a reprensentation"（１つの表現）という。」

また、質問者さんの使っている記号について、私は、勝手に次のように解釈しています。

質問のGは上の定義のGと同じ
質問のU_μは上の定義のEと同じ
質問のT^μは上の定義のρと同じ

そうすると、次のように、質問者さんの記述と整合的でない部分が出てきます。この点、質問者さんが使われているテキストでどのように説明されているかチェックしたらよさそうです。

[1]　質問者さんの記述では、G-moduleは既約表現に対応するものだけを指しているようにみえるが、上の定義では、可約表現に対応していてもよい。

[2]　上の定義では、T^μとU_μのペア(T^μ, U_μ)をG-moduleというわけだから、１つのG-moduleに別のT^μを想定する余地がない。言い方を変えれば、別の表現T^μ'があれば、(T^μ, U_μ)と(T^μ', U_μ)を別のG-moduleとみなすだけの話となる。
　この定義に従えば質問者さんの「T^μとは異なる既約表現が存在してしまいます。」の部分は正しいとして、「T^μ以外に既約な表現が存在しないものをG-moduleと言う」の部分は正しくないことになる。

回答No.3

ramayana

（ANo.2補足(1)の前半）
「C(g)は存在しないのですか？」

⇒　存在することもあります。

D が既約と考えて、D1=D、U=Vとします。

G = {1, -1}　　（1と-1から成る位数2の乗法群）
U = C　　（複素数を係数とする1次元の線形空間）
D： D(1)もD(-1)もUの恒等変換
C： C(1)はUの恒等変換、C(-1)は-1を乗ずる線形変換

と置けば、DはGの既約表現で、Cは、Dと別の既約表現になります。しかも、CとDは同値ではありません。

（ANo.2補足(1)の後半）
「C(g)に対してUの自明でない不変部分空間は一般に存在しますか？」

⇒　存在することもあります。

前半で例としたCは、既約なので、この後半の例としては不適当です。同次元の線形空間に作用する既約なDと可約なCを構成することになるので、少なくともUは2次元以上で、Gは、非可換群でなければなりません。したがって、若干複雑な例になるのを避けられません。

G = 3次対称群（3個の数字1,2,3の順番を並べ替える置換全体。位数は6）
V = C^3　（複素数を係数とする3次元線形空間）
U = {(x_1, x_2, x_3)∈V| x_1+x_2+x_3 =0} （UはVの2次元部分空間）
D(g)：置換gによってVの3つの成分を入れ替える線形変換
　　　すなわち、D(g)( x_1, x_2, x_3) = ( x_g(1), x_g(2), x_g(3))
C(g)：gにかかわらずVの恒等変換

と置けば、Uは、Dに関してもVの不変部分空間であるし、Cに関してもVの不変部分空間です。そこで、Uを土台空間としての表現と見たとき、Dは既約で、Cは可約です（この証明は簡単なので省略）。さらに、DとCは同値ではありません（既約表現と可約表現は同値になりえない）。

（ANo.2補足(2)について）

上のDとCは同値でないので、補足(2)の回答にもなるかと思います。

もし、この回答が見当違いだったら、また補足してください。

補足

回答有り難うございます。遅くなってすみません。

線形空間Uに対して異なる既約表現が存在することがあるとすれば、やはり私はG-moduleの定義が理解できていないのだと思います。

NO.2で
>G-moduleとしてみる場合は、対応するT^μは、当然、１つです。G-moduleというのは、特定のT^μを固定して、はじめて定義されるわけですから。
とありますが、T^μに対してG-moduleという不変な線形空間U^μを定義するわけですよね？しかし一般にはただ不変な空間と言っただけではT^μとは異なる既約表現が存在してしまいます。ということは、このU^μについてT^μ以外に既約な表現が存在しないものをG-moduleと言うということでしょうか？

回答No.2

ramayana

やっぱりU_μ、T^μ、D^μなどの意味が分かりません。もしかして、次の[1][2][3]のようなことでしょうか？

[1]　　ある体Kが想定されていて、U_μは、K上の有限次元ベクトル空間である。

[2]　　T^μは、GからEnd(U_μ)への群準同型である。ただし、U_μからU_μへK-準同型全体から成るK-多元環をEnd(U_μ)と記す。

[3]　　U_μの次元をn_μとする。また、U_μの基底を１組固定する。さらに、Kの元を要素とする、n_μ次正方行列全体を、M(n_μ, K)と記す。M(n_μ, K)は、K-多元環である。そして、End(U_μ)とM(n_μ, K)との間には、K-多元環としての自然な同型写像が存在する。この同型写像によって、T^ν(g)に対応するM(n_ν, K)の元を、D^ν(g)と記す。ただし、gは、gの元である。

上の解釈の下で、ご質問への回答を試みます（当然ながら、上の解釈が間違っていたら、以下の回答は、的外れになります）。

（一つ目の質問について）

U_μを単なるベクトル空間とみるかG-moduleとみるかで答が違ってきます。単なるベクトル空間としてみるなら、Gが単位群でない限り、既約表現は複数存在します。

G-moduleとしてみる場合は、対応するT^μは、当然、１つです。G-moduleというのは、特定のT^μを固定して、はじめて定義されるわけですから。

（二つ目の質問について）

２つのベクトル空間の間の線形写像は、それらの次元が違ったとしても、それぞれの基底を固定しておけば、行列で書けます。n次元空間からm次元空間への線形写像は、m行n列の行列で書けます。

補足

回答有り難うございます。
二つ目の質問に関しては解決できました。

表記についてはあまり正確に書いてなくて私もよくわかりません。また、物理科の学生向けの教科書を読んでいるので数学的にはあまり厳密ではないらしいです。
G-moduleというのは正確な定義は理解してないのですが、Gの表現に対して自明な部分空間以外の不変部分空間が存在しない線形空間という理解で合ってますか？

理解できていないところを特定するために二通りの方法で質問させて下さい。

(1)例えば、ある有限群Gの表現D(g)が作用する線形空間Vがあったとします。D(g)は一般に完全可約で既約表現のブロック対角に書けると思います。そのなかの一つのブロックの既約表現D1(g)が作用する部分空間UにはD1(g)に対する不変部分空間が{0}とU以外に存在しないはずです。
このときにD1と同じ次元の全く別の表現C(g)に対して
C(g)u∈U 　∀u∈U , ∀g∈G
となるようなC(g)は存在しないのですか？また、そのようなC(g)があったとしてC(g)に対してUの自明でない不変部分空間は一般に存在しますか？

(2)上とは別にある有限群Gの表現D(g)が作用する線形空間Vがあったとします。
D(g)u∈U 　　∀u∈U , ∀g∈G
となるようなVの部分空間Uが{0}とV以外にないとき（このときのVがG-module？）
C(g)v∈V　　∀v∈V , ∀g∈G
を満たすようなD(g)と同値でないが同次元の表現C(g)は存在しますか？また、存在したとして
C(g)u∈U　　∀u∈U , ∀g∈G
となるようなVの部分空間Uは{0}とV以外に存在しますか？

回答No.1

ramayana

回答ではないです。

[1]　　まず、ν、μ、λ、U_ν、U_μ　G、g、h、δ、{lm}、{lr}、{ms}などの記号が何を指しているのか、明らかにする必要があります。表現論の文脈のようにも見えますが、テキストによって記号の使い方も変わりますので、他人に、説明なしで理解しろ、というのは酷です。

[2]　 「U_νとU_μを２つの同値でない既約表現を伴うG-moduleがあって、AをU_ν→U_μの線形写像として演算子B=Σ(T^μ(g))A(T^ν(g^-1))　　（Σは常にgに関する和です）を定義します。」の部分は、日本語として変ですので、意味が通る文にする必要があります。

[3]　記号が今ひとつ分からないので、憶測ですが、 G-moduleという言葉が出てくるところをみると、表現の土台となる加群が想定されているのではないかと思います。後の質問との関係では、それが環上の加群なのか、体上の加群（ベクトル空間）なのか、また、有限生成なのか、無限生成も想定するのか、といったことが重要な情報になりそうです。

表現論においては、いろいろな群、加群、準同型、演算がかかわるので、これを明示的に整理しておかないと、収拾がつかなくなります。反対に、案外、これらを整理するだけで、ご質問の答が自ずと明らかになる可能性もあります。

補足

ご指摘ありがとうございます。

μとνはG-moduleのラベルだと思います。Gは（有限）群、g,hはその元、l,m,r..などは添字です。
G-moduleというのは私は表現が作用する線形空間と理解しています。

「U_νとU_μを～」の部分は私の解釈が合ってるのかわかりませんが、次のような意味です。
２つのG-moduleを考えて、それぞれの既約表現がある。演算子Bを次のように定義する。
B=Σ(T^μ(g))A(T^ν(g^-1))
ここで、AはU_ν→U_μの線形写像である。

よろしくお願いします。