二次関数の最大最少について

質問

「y=-x^2+4x+5(a≦ｘ≦a+2)について、最大値・最少値をもとめよ。」

という問題ですが、普通のめんどくさい場合分けの方法ではなく、このグラフを２左に移動することによってできた軌跡の外側が最大値、内側が最小値になるらしいんですが、なぜですか？

まったくわかりません。お願いします。

回答No.3

staratras · ベストアンサー

f(x)=-x^2+4x+5=-(x-2)^2+9 なので y=f(x)のグラフを左に２だけ平行移動したグラフy=g(x)を考えると
g(x)=-x^2+9 (添付したグラフでは赤） です。

ここでa≦x≦a+2　の範囲でf(x)の最大値・最小値を考えるということは、幅２の区間での最大値・最小値を考えることです。
そこでまず区間の両端の値f(a)とf(a+2)を比較したいのですが、f(a+2)=-a^2+9=g(a)なので、f(a)とg(a)を比べればよいことになります。
y=f(x)とy=g(x)のグラフは点(1,8)で交わり、これより左側(x<1)ではg(x)>f(x)なのでf(a+2)>f(a),右側(x>1)ではg(x)<f(x)なのでf(a)>f(a+2)です。…（１）

次にf(x)はf(2)=9 が最大値であることは直ぐに分かりますが、aの値によってa≦x≦a+2を満たすxの範囲にx=2が含まれたり含まれなかったりしますので、この点を考えます。y=g(x)のグラフから、a≦x≦a+2を満たすxの範囲にx=2が含まれるのは、0≦a≦2　であり、この範囲では区間の両端の値にかかわらず(厳密に言うとa=0 またはa=2のときは両端の値の一つですが)、f(2)=9が最大値です。…（２）

（１）（２）をまとめると
a<0のとき　最大値f(a+2)　最小値f(a)
0≦a<1のとき　最大値f(2)=9　最小値f(a)
a=1 のとき　最大値f(2)=9　最小値f(a)=f(a+2)=8
1<a≦2のとき　最大値f(2)=9　最小値f(a+2)
a>2のとき　最大値f(a)　最小値f(a+2)

お礼

長いあいだ放置してすみません！

回答No.2

ferien

このグラフを２左に移動することによってできた軌跡の外側が最大値、内側が最小値になるらしいんですが、
＞なぜですか？
意味がちょっと分からないので、回答にならないかもしれないですが、
ｆ（ｘ）＝－ｘ^2＋４ｘ＋５とおくと、
　　　　＝－（ｘ－２）^2＋９より、
軸は、ｘ＝２で、ｘのある範囲では、最大値９です。

最大値について場合分けを考えると、
a≦ｘ≦a+2より、区間の幅は２なので、軸ｘ＝２の前後幅２の範囲で、最大値は９になります。
だから、０≦区間の左端＜区間の右端＜４です。
０≦ａ，ａ＋２＜４より、０≦ａ＜２のとき、最大値９
区間の左端＜０のとき、
ａ＜０のとき、最大値ｆ（ａ＋２）＝－ａ^2＋９
２≦区間の右端のとき、
４≦ａ＋２より、２≦ａのとき、最大値ｆ（ａ）＝－ａ^2＋４ａ＋５
最小値について場合分けを考えると、
ｆ（ａ）＝ｆ（ａ＋２）とおいて解くと、ａ＝１よって、
ａ＜１のとき、最小値ｆ（ａ）
ａ≧１のとき、最小値ｆ（ａ＋２）

以上をまとめると、４つに場合分けできて、
ａ＜０のとき、最大値ｆ（ａ＋２），最小値ｆ（ａ）
０≦ａ＜１のとき、最大値９，最小値ｆ（ａ）
１≦ａ＜２のとき、最大値９，最小値ｆ（ａ＋２）
２≦ａのとき、最大値ｆ（ａ），最小値ｆ（ａ＋２）

になります。ｙ＝ｆ（ｘ）のグラフを描いてみて、幅２の区間を動かしてみれば分かると思います。
（質問の内容と関係するところがありますか？）

回答No.1

linus3030

y = -x^2+4x+5 = -(x-2)^2+9

これでｙは９以下であることは理解できますか？

補足

はい