複素数列（大学レベル）の問題について教えてください
- 数列{a[n]} (n=1,2,3,......)について、公比がβの等比数列となるようなαとβを求めよ。
- 数列{a[n]} (n≧3)について、a[1]とa[2]を用いてa[n]を表せ。
- 数列{a[n]} (n≧3)が (2) の式で表されるとき、三角形OA[n]A[n+1]の面積を求めよ。
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複素数列（大学レベル）
数列{a[n]} (n=1,2,3,......)について以下の問いに答えよ。 (1): a[n+2]+pa[n+1]+q[n]=0 とする。 このとき、b[n]=a[n+1]-αa[n]によって定められる数列{b[n]}が公比βの等比数列となるようなαとβをすべて求めよ。 (2): （n+2）a[n+2]-2(n+1)a[n+1]cosθ+na[n]=0 であるとき、a[1]とa[2]を用いてa[n] (n≧3) を表せ。 ただし 0＜θ＜π/2 とする。 (3): a[1]=1、a[2]=i とし、複素平面上で原点をO、複素数a[n]を表す点をA[n]とする。 a[n]が (2) の式で表されるとき、三角形OA[n]A[n+1] （n≧3）の面積を求めよ。 この3問を解ける方は解法を教えて頂きたいです。 自分で解いた限りでは、(1)は (α,β)=( -p/2マイプラ(√p^2-4q)/2 , -p/2±(√p^2-4q)/2 ) となり、(2)と(3)は全くわかりませんでした。
- janneofworld
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(1)のb[n]と (2)のb[n]は文脈からして 異なるものです． 見にくいなら(2)のb[n]はc[n]とでもしてください 単にna[n]のまま計算するのが面倒だから 置き換えるだけです そうすれば(2)は(1)に帰着します． 「大学レベル」といってるので 大学生であって当然受験はしてると判断しました． 受験しているなら，数学II（のはず）は履修しているはずで そうなると，三項間漸化式は知ってると判断しました．
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- kabaokaba
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(1)は三項間漸化式の基本 受験してるなら知らないのはまずいと思う (2)b[n]=na[n]とおけばいい b[n+2]-2b[n+1]cosθ+b[n]=0 であって (1)のα，βとして α+β=2cosθ αβ=1 をみたすものをとればいい 解の公式にでも当てはめればいいけど 慣れてれば α=cosθ+isinθ β=cosθ-isinθ だというのが見えると思う これで，b[n]が計算できる (3) (2)で計算したものを利用する =========== αとβの形が特徴的だから，実際に計算する際には 見た目よりかなり楽な計算になるはず α=e^{iθ}，β=e^{-iθ}と書けばいい．
補足
回答ありがとうございます。 (1)についてですが、数列は全く手に付けていませんが αβ=q , -α-β=p , β^2+pβ+q=0 となり、解を求めるのは間違っているんでしょうか。 (２)はb[n]=na[n]とおくことが出来る理由が分からないです。 申し訳ありませんが、教えて頂けないでしょうか。
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