【数列】

質問

数列{ａn}を初項１、公差３の等差数列の初項からｎ項までの項のうち、
異なる２項の積の和をＳnをする。
例）S3=ａ1ａ2＋ａ１ａ3＋ａ2ａ3
Ｓ10は？

数列が大の苦手です。

解説付きでお願いしたいです><

回答No.2

-kc · ベストアンサー

数学の問題になる数列は、案外限られた公式を使用しているので、
コツさえ掴めばそんなに難しくないのじゃないでしょうか。

今回使う公式は、以下の三つです。

・初項b、公差cの数列an=b+c(n-1)

・Σak(k=1,2,・・・n)=n(a1+an)/2

・Σk²(k=1,2,・・・n)=n(n+1)(2n+1)/6

解答ですが、

Σan＝a1+a2+・・・+an

のとき、両辺を２乗すると、右辺は、

(a1+a2+・・・+an)²

=(a1²+a2²+・・・+an²)+2(a1a2+a1a3+・・・+a1an+a2a3+・・・)

=(a1²+a2²+・・・+an²)+2Sn

となります。
これは、n=3、4くらいで試してみると、多分こうなるんだろうな、とわかります。

つまり、

Sn={(Σan)²-(a1²+a2²+・・・+an²)}/2 ----(1)

です。

初項１、公差３の等差数列は、

an=1+3(n-1)=3n-2

なので、

an²=(3n-2)²=9n²-12n+4

したがって、

Σan=n(a1+an)/2=n(3n-1)/2 ----(2)

(a1²+a2²+・・・+an²)=Σan²
=9Σk²-12Σk+Σ4 (k=1,2,・・・,n)
=9n(n+1)(2n+1)/6-12n(n+1)/2+4n
=n(3n²-3n/2-1/2) -----(3)

(1)式に代入すると、

Sn=[{(2)式の2乗}-(3)式]/2

なので、

Sn={(9n^4)/4-(9n^3)/2+(7n^2)/4+n/2}/2 -----(4)

(4)式に、n=10を代入すると、

S10 = 9090　になります。

以上です。数列としての難しさよりも、
式の展開の方が面倒かもしれません。

(4)式だけ累乗が＾記号になってしまいました。
判りにくくなって申し訳ありません。

以上です。
ご参考になれば幸いです。

回答No.1

ferien

数列{ａn}を初項１、公差３の等差数列の初項からｎ項までの項のうち、
異なる２項の積の和をＳnをする。
例）S3=ａ1ａ2＋ａ１ａ3＋ａ2ａ3
＞Ｓ10は？
第ｎ項ａn＝ａ1＋（ｎ－１）×ｄ＝１＋（ｎ－１）×３＝３ｎ－２
Ｓ10の項の組み合わせは、全部で10Ｃ2＝４５通り
ａ10のとき、ａ1～ａ9の９通り、和＝ａ10×（ａ1＋……ａ9）
ａ9のとき、ａ1～ａ8の８通り、和＝ａ9×（ａ1＋……ａ8）
　………
ａ3のとき、ａ1～ａ2の２通り、和＝ａ3×（ａ1＋ａ2）
ａ2のとき、ａ1の１通り、和＝ａ2×ａ1
Ｓ10はこれらの各和を足したもので、第ｎ項までの和は、
ａ1＋……＋ａn＝（ｎ／２）×（ａ1＋aｎ）＝（ｎ／２）×（１＋ａn）だから、書き換えると、
Ｓ10＝ａ10×(9/2)×（１＋ａ9）＋ａ9×(8/2)×（１＋ａ8）＋……
　　　　……　＋ａ3×(2/2)×（１＋ａ2）＋ａ2×(1/2)×（１＋ａ1）
＝Σ（ｋ＝１～９）ａ[k+1]×(k/2)×（１＋ａ[k]）
＝Σ（ｋ＝１～９）｛３（ｋ＋１）－２｝×(k/2)×｛１＋（３ｋ－２）｝
＝Σ（ｋ＝１～９）(k/2)×（３ｋ－１）×（３ｋ＋１）
＝Σ（ｋ＝１～９）｛（9/2)ｋ^3－(1/2)ｋ｝
＝(9/2)Σ（ｋ＝１～９）ｋ^3－(1/2)Σ（ｋ＝１～９）ｋ
＝(9/2)×｛(1/2)×９×（９＋１）｝^2－(1/2)×｛(1/2)×９×（９＋１）｝
＝(9/2)×４５^2－(1/2)×４５
＝（４５／２）×（９×４５－１）
＝９０９０

になりました。計算を確認してみて下さい。