Σ{n=0~∞} ((x^2^n)/(1-x^2^(n+1))を求めよ

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このQ&Aのポイント
  • Σ{n=0~∞} ((x^2^n)/(1-x^2^(n+1))を求める問題について考えます。
  • この問題は、以下のように簡略化できます：(x^2^n)/(1-x^(2n+1))=(1/(1-x^2^n)-1/(1+x^2^n))/2。
  • ただし、間違いがある可能性もあるため、指摘していただくと助かります。
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Σ{n=0~∞} ((x^2^n)/(1-x^(2

Σ{n=0~∞} ((x^2^n)/(1-x^2^(n+1)) ただし-1<x<1 を求めよという問題なのですが (x^2^n)/(1-x^(2n+1) =(1/(1-x^2^n)-1/(1+x^2^n))/2 とぶんかいできるので Σ{n=0~∞}　(1/(1-x^2^n)-1/(1+x^2^n))/2 と置き換えられる 1/(1-x^2^n)=1/(1-x^2^(n-1)) + 1/(1+x^2^(n-1)) とも置き換えられるので Σ{n=0~∞}　(1/(1-x^2^(n-1)) + 1/(1+x^2^(n-1)) -1/(1+x^2^n))/2 1/(1+x^2^(n-1)) -1/(1+x^2^n)はn=0~∞なので０　（ここが自信ないです） Σ{n=0~∞}　(1/(1-x^2^(n-1))　は発散する　( 1/(1-x^2^(n-1)>1 なので） 間違えてるところがあったら指摘お願いします

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
noname#152705
noname#152705
回答No.2

(x^2^n)/(1-x^(2n+1))の分解と同じで 1/(1-x^2^n)=(1/(1-x^2^(n-1)) + 1/(1+x^2^(n-1)))/2になると思います。 あと、自信ないと書かれているように、番号だけずれているような和どうしの差がn→∞でゼロとは限らないです。 それぞれの和が収束しない場合は慎重な議論が必要です。 収束するとしても、相殺されないで残る項がないか見ないといけません。 まず極限をとらず有限和を計算してはどうですか。

nemuine8
質問者

お礼

＞1/(1-x^2^n)=(1/(1-x^2^(n-1)) + 1/(1+x^2^(n-1)))/2になると思います。 そうですね　番号がずれている和同士の差が０になるのはお互い収束する場合でしょうか ちょっとちがうかもしれませんが、整数と自然数の数が同じというのをしってからいまいち無限？の概念がわからないんですよね　 とりあえず有限和計算してみます

その他の回答 (1)

  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)
回答No.1

あ, そうか. 1/(1-x^2^n)=1/(1-x^2^(n-1)) + 1/(1+x^2^(n-1))

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