線形変換の合成と証明についての質問
- 座標平面上の点を回転する線形変換についての質問です。
- 線形変換の合成を証明する手順と、行列を用いた計算に困っています。
- sin(φ+θ)とcos(φ+θ)の関係を利用して証明する方法が分かりません。
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すみませんが、再び・・。
以前に下記の事を質問したのですが、パウリ行列などが出てきてよく分からないまま、回答が途絶えてしましました。もう少し質問できれば良かったのですが、時間が過ぎてしまったので・・。そこでもう一度質問をさせていただきました。 座標平面上の点を原点周りにθだけ回転する線形変換をfθで表しさらにそこからφだけ回転する線形変換をfφとしたときの事で まず、fθ○fφ＝fθ＋φを証明したいのです。 ここで、普通に考えれば確かにそうなることは分かるのですが、証明となるとどう手順を踏めばいいのでしょうか？ あとfθ○fφを表す行列を行列の積を用いて求めていきたいです。これはまったく手が付けられず困っています。合成変換の場合はどうなるのか？ 最後に上の行列がfθ＋φを表す行列にひとしいことを利用して、証明したいのですがこれは上が分からないので・・・・。 sin(φ+θ)=sinφcosθ+cosφsinθ cos(φ+θ)=cosφcosθ+sinφsinθ この問題で、初めの問題は定義から考察してくれとあったのですが。それを含めておねがいします。
- mezasedaiken
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質問者が選んだベストアンサー
平面上のθだけの回転は２元２次の行列で以下のように 表現できます。 (cosθ、-sinθ) (sinθ、 cosθ) 回転後の座標を(X) 、開店前の座標を(x) とすると (Y) (y) 以下の積で表現される。 (X) =（cosθ、-sinθ)(x) (Y) (sinθ、 cosθ)(y) θだけ回転した後にφ回転すると (X)＝(cosφ、-sinφ） ×(cosθ、-sinθ) (x) (Y) (sinφ, cosφ) (sinθ、 cosθ) (y) となる。 行列の積を計算すると (cosφ、-sinφ） ×(cosθ、-sinθ) (sinφ, cosφ) (sinθ、 cosθ) ＝(cosφcosθ-sinφsinθ、-cosφsinθ-sinφcosθ） (sinφcosθ+cosφsinθ、-sinφsinθ+cosφcosθ) ＝(cos(φ+θ)、-sin(φ+θ)) (sin(φ+θ)、cos(φ+θ)） となる。 よってθだけ回転した後にφだけ回転したのと、 最初からφ+θだけ回転したの同じになる。 以上で証明は終わる。 なお、あなたが示したcosの加法定理は cos(φ+θ)=cosφcosθ+sinφsinθ ではなく cos(φ+θ)=cosφcosθ-sinφsinθ が正しいのである。
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