ε-N、ε-δ論法について

質問

今年から大学生になり、マセマ新書の「微分積分I」を参考にして少しだけ先に予習をしているんですが、参考書には
「一般に、関数の極限の計算は、高校で習った方法で十分なんだけれども、もし、問題文で、“厳密に”とか“ε-δ論法で”とかの指定があれば、上記のε-δ論法に従って、答案を作らなければならない。」
と書いてありました。
そこで質問なんですが、なぜ高校でならった極限の求め方よりも、ε-δ論法の方が“厳密”なんでしょうか。
また、ε-N、ε-δ論法はどういう経緯や発想の元でできたんでしょうか。
ε-N、ε-δ論法じゃないと解けない「数列や関数の極限の計算」があるんでしょうか。

回答よろしくお願いしますｍ(＿　＿)ｍ

回答No.3

中村 拓男（@tknakamuri）

ε-N、ε-δ論法 は無限小とか連続とかを厳密に
定義するために用いられます。

例えば、x=aで関数fが連続かを表す定義は、ε-δでは

∀ε∃σ(|x-a|<σ→|f(x)-f(a)| <ε)

ですが、これを以下の関数に当てはめると

f(x) = 0(x<=0). 1(x>=2), 2(x=1) (0<x<1, 1<x<2 では未定義)
g(x) = 0(x<1), 1(x>1), 2(x=1)

x=1 で f は連続、gは不連続と明瞭に判定できます。
高校の微積分では連続の定義が曖昧模糊としているので
判定不能だと思います。

こうした厳密性は、物理などではほとんど話題になりませんが、
数学は厳密な論理の上にのみ成り立つ学問なので、必要なのです。

お礼

回答有難う御座いますｍ(＿＿)ｍ

>こうした厳密性は、物理などではほとんど話題になりませんが、
数学は厳密な論理の上にのみ成り立つ学問なので、必要なのです。
NemurinekoNyaさんの
>「x→aのときf(x)→b,g(x)→cならば、x→aのとき(f(x)+g(x))→b+cである」
という定理の証明は高校の感覚的な極限の定義ではもうお手上げですよね。
も、自明に思えても証明出来ないといけないのが数学で、またそこが魅力でもあるような気がしました。