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- stomachman
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「x＜x」 という式が意味を持つためには、xは、関係"＜"が定義されている集合Xの要素でなくてはなりません。そのようなXは、普通、たとえば整数だとか実数だとかであることが多いでしょう。しかし、勝手な集合Xを持ってきて、勝手に関係"＜"を定義しておくというのでも、もちろん構わないのです。 たとえば集合Xが実数全体の集合Rだとして、関係"＜"が実数の大小関係を表すものとするとき、 x∈R → x＜x は「恒偽式（こうぎしき）」、すなわちどんなx∈Xを持ってきても真にならない（成立たない）述語の一種です。("→"は「ならば」という意味の論理演算子です。） なので、「x＜xとなる実数xの範囲は？」と聞かれたら { x | x∈R ∧ x＜x} =空集合 ということです。("∧"は「かつ」という意味の論理演算子です。） また、集合X={a,b}を決めて、X上の関係"<"を普通の大小関係とは違う、たとえばa＜a, a＜b, b＜a, b＜bという関係だと定義すれば、 x∈X → x＜x は「恒真式」、すなわちどんなxを持ってきても真になる述語の一種です。 さらに別の集合Y={p,q}を決めて、Y上の関係"<"を普通の大小関係とは違う、たとえばp＜pという関係だと定義すれば、 x∈Y → x＜x はxがpであるとき真になる述語です。 つまり、「x＜x」という式だけを取り上げて「成立つか？」と言われても答えようがありません。式に書かれた関係"＜"と、その関係が定義されている集合Xを指定した上でないと、この質問そのものが意味を持たないのです。
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