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中学入試で出てくる（？）算数の質問
私は、中学2年生です。 １～１００まですべて足そうと思ったら、１+2+3+4+5+6・・・ という方法のほかに、もっと簡単で、すぐに解けるやり方はありますか？ 小学6年生の時、このような問題をやったのですが、思い出せません。。。 誰か教えてください！
- sayakahori
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1+2+3+4+・・・+97+98+99+100 =(1+100)+(2+99)+(3+98)+(4+97)+・・・+(50+51) =101×50 =5050 そのうち、１からnまでの自然数を全部足したらn×(n+1)÷２、という公式が出てきます。
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ETVで秋山仁さんが解説してました。 まずご質問であり既に回答があるのが「三角数」というそうです。 ●○○○○－ ●●○○○ ↑ ●●●○○ ↓4 ●●●●○ － ｜←→｜ 4＋1 このように、もう一つ作って引っくり返して並べて、平行四辺形の面積的、その半分と考えればいいようですね（まあ三角形の面積ですが^^;）。 すると、4×(4＋1)÷2＝10。 1～nまでですと、n(n＋1)/2となるのもうなづけます。 番組では、これから進んで「四角数」の紹介もありました。奇数の和です。 1＝1＝1^2, 1＋3＝4＝2^2, 1＋3＋5＝9＝3^2, 1＋3＋5＋7＝16＝4^2, …… ○●△▲ ●●△▲ →このように、○、●、△、▲と2乗になって行く。 △△△▲ ▲▲▲▲ n個の奇数ですと、1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n^2となります。 さらに「ピタゴラス数」の紹介もありました。 直角三角形の斜辺が5、他の2辺が4、3の直角三角形は、辺の長さの関係が4^2＋3^2＝5^2となる、よく出題される三角形ですね。この関係を満たすのがピタゴラス数です。 i^2＋j^2＝k^2となる自然数を探すのは大変そうです。 しかし、上記の四角数を使うと、効率よくピタゴラス数が探せます。 i^2、j^2、k^2は四角数ですから、四角数＋四角数＝四角数になるものを探せばいいということになります。 上記の○、●、△、▲の並びを見れば分かるように、2辺を占めるものが自然数の2乗になればいいということになります。 なぜなら、その一つ内側は自然数の2乗の数で、もちろん全ての和も自然数の2乗になるのが四角数です。 そうして探して、12^2＋5^2＝13^2などが紹介されていました。 さらに、3乗の数の立方数と2乗の数である平方数（四角数）との関係も示されていました。 1^3＋2^3＝3^2, 1^3＋2^3＋3^3＝6^2, 1^3＋2^3＋3^3＋4^3＝10^2, …… ○●●△△△▲▲▲▲ ●●●△△△▲▲▲▲ ●●●△△△▲▲▲▲ △△△△△△▲▲▲▲ △△△△△△▲▲▲▲ △△△△△△▲▲▲▲ ▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲ ▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲ ▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲ ▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲ 3乗の項は立方体になりますが、なんとか平面に展開して図示すると、こうなります。 ここでさらに続くところが怖いくらいでした。 一番上の辺の長さを○、●、△、▲の数で表せば、1＋2＋3＋4（＝10）と三角数です。 上図は一辺がその長さの正方形です。○、●、△、▲の数は自然数の3乗でした。 ですから、1^3＋2^3＋3^3＋4^3＝(1＋2＋3＋4)＾2だということになります。 1～nなら、1^2＋2^2＋3^2＋4^2＋…＋n^2＝(1＋2＋3＋4＋…＋n)＾2となります。 1から続く自然数それぞれを3乗して足したら、三角数の2乗になるわけで、しかも2乗は四角数でした。 すると、自然数の3乗の和は、三角数の四角数というわけです。 もうこうなると、「それ狙って自然数作ったんじゃないの？」と錯覚してしまいそうです。
お礼
ご回答、ありがとうございました。 とても参考になりました＾＾
- Turbo415
- ベストアンサー率26% (2631/9774)
すでに答えが出ていますから蛇足です。 これって、一個おきとか2個おきでも出来ますよ。 １＋３＋５＋７＋９だとすると10×５÷２＝２５です。
お礼
そうですね。 2個置きでもできますね。 回答ありがとうございました。
- 151A48
- ベストアンサー率48% (144/295)
1+2+3+・・・・・+99+100 100+99+98+・・・・・・+3+2+1 上下足すと 101×100 これは欲しいものの２倍だから2で割って (101×100)/2=5050
お礼
回答ありがとうございました。 次も、これでやってみます！
逆にして、足せばよいですよ。 S = 1 +2 +3 +...+99+100 S = 100+99+98+...+2 +1 この２つを足すと 2S= 101+101+...+101+101 2S= 101 × 100 よって S = 5050 ガウスが幼少のころに思いついたと言われるやり方ですね。
お礼
ガウス、懐かしいです。 思い出しました。 回答ありがとうございました。
- 沙里菜（@suzy205）
- ベストアンサー率44% (4/9)
大学受験生です。 解答しますねー＾＾ １＋２＋３＋・・・・・・９８＋９９＋１００ １＋１００＝１０１ ２＋９９＝１０１ ３＋９８＝１０１・・・であることに着目すれば簡単です。 このような式が５０個出来ます １０１×５０より、答えは、５０５０です(*^^)v
お礼
回答ありがとうございました！ これは、ガウスの計算ですか？ 受験、頑張ってください！
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