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方程式の解の個数

方程式 z^6 - 5z^4 + 2z - 1 = 0 の解は, a~g の範囲にいくつあるかという問題です。 ルーシェの定理の応用だと考えたのですが、それでは解けないみたいなので、どうか解き方を教えてください。 a |z| < 1 b |z| = 1 c 1 < |z| < 2 d |z| = 2 e 2 < |z| < 3 f |z| = 3 g 3 < |z|

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回答No.1

F(z)=z^6 -5z^4 +2z-1, G(z)=- 5z^4 +2zとおくと F(z)-G(z)=z^6-1 G(z)=-5z(z^3-(2/5))=0の解の個数は4個 |z|=1のとき |F(z)-G(z)|=|z^6-1|≦2(等号z=-1の時) |G(z)|=|z|*|-5z^3+2|=|-5z^3+2|≧3(等号z=1の時) |F(z)-G(z)|<|G(z)| ルーシェの定理より|z|=1の内部|z|<1におけるF(z)=0とG(z)=0の解の個数は一致する。 G(z)=-5z(z^3-(2/5))=0の解の個数は4個なので|z|<1におけるF(z)=0の解の個数は4個。 aの答えは4個。 |z|=2のとき |F(z)-G(z)|=|z^6-1|≦|-2^6-1|=65(等号z=-2の時) |G(z)|=|z|*|-5z^3+2|=2|-5z^3+2|≧2|-5*2^3+2|=2*38=72(等号z=2の時) |F(z)-G(z)|<|G(z)| ルーシェの定理より|z|=2の内部|z|<2におけるF(z)=0とG(z)=0の解の個数は一致する。 G(z)=-5z(z^3-(2/5))=0の解の個数は4個であり、かつ|z|<1におけるF(z)=0の解の個数は4個であるから、1≦|z|<2におけるF(z)=0の解は4-4=0個。 従って b,cの答えは0個 また F(z)=0の解は6次方程式なので解の個数は全部で6個。 その内、|z|<1に4個存在し1≦|z|<2には存在しない。 残りの6-4=2個は|z|≧2の解です。 ここで F(0)=-1<0,F(-3)=317>0,F(3)=329>0 F(-2)=-21<0,F(2)=-13 であるから F(-3)F(-2)<0,F(2)F(3)<0 より 2<|z|<3にF(z)=0の2実解が存在する。 従って残りのF(z)=0の解は6-4-2=0個(存在しない) このことから d,f,gの答えは0個、eの答えは2個 と分かる。

alanq
質問者

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