比について

質問

a/x＝b/y＝c/zがa:b:c＝x:y:zとなるのはなぜなのでしょうか？
解説お願いします

回答No.9

alice_44 · ベストアンサー

a : b : c = xt : yt : zt は、
a : b : c に a = xt, b = yt, c = zt を代入した。
代入が何だか解からないというのは、いくら何でも…

xt : yt : zt = x : y : z は、
xt : yt : zt を t で約分した。
(t≠0の場合に)約分ができることは、「比」の定義そのもの。

お礼

なるほど…そういうことでしたか
やっと分かりました ありがとうございます

回答No.11

noname#175206

#10他のばか者です。orz

誤>たとえば、2：3：6＝1：2：3ですね。

　こんな等式が成り立つかあっ！＜自分
　どこを見て何を考えてたんだか、あたしゃ。orz

正>たとえば、2：4：6＝1：2：3ですね。

です、すみません。m(_ _)m

お礼

了解です！

回答No.10

noname#175206

補足、承りました。#8他です。

　a/x＝b/y＝c/z＝1/wとしてみたほうですね。

　1/wと等しい三つに分けてみて、整理してみます。

　a/x＝1/wの両辺にxwを掛けると、aw＝xです。x＝awのほうが見やすいかもしれません。
　b/y＝1/wの両辺にywを掛けると、bw＝yです。同様に、y＝bwとしておきます。
　c/z＝1/wの両辺にzwを掛けると、cw＝zです。これも同様に、z＝cwとしておきます。

　これで、x：y：zを考えるわけですが、さすがにx＝awのように、数値として等しくなるものは、xとawを置き換えても成り立ちます。

　たとえばx＝2なら、必ずaw＝2でしか無いわけですから。

　ｙとbw、zとcwも同様に必ず等しくなり、置き換えることができます。

　ですから等しい物を置き換えて、x：y：z＝aw：bw：cwも成り立ちます。

　そして、比ですから、等しくw倍したものは、それぞれwで割っても成り立ちますので、aw：bw：cw＝a：b：cも成り立ちます。たとえば、2：3：6＝1：2：3ですね。

　ですので、二つをまとめて等式で書けば、x：y：z＝aw：bw：cw＝a：b：cです。

　最も左辺と最も右辺だけ書けば、x：y：z＝a：b：cです。

　等式は左辺と右辺を入れ替えても成り立つので（それが等号＝です）、a：b：c＝x：y：zです。

　もちろん、aw＝x等を入れ替えず、aw：bw：cw＝a：b：c＝x：y：zでもOKです。
　こっちの方が手間は少なかったですね。すみません。

お礼

ようやく分かりました ありがとうございます！

回答No.8

noname#175206

補足、承りました。#3です。

　まず、数学的に、あるいは論理的に全く等しいことについて「⇔」という記号を用いることがあるので、これを利用して簡潔に見直してみましょう。

　a/x＝b/y　⇔　ay＝bx　⇔　a:b＝x:y
　b/y＝c/z　⇔　bz＝cy　⇔　b:c＝y:z
　a/x＝c/z　⇔　az＝cz　⇔　a:c＝x:z

　以上の等式の右側からは、a/x＝b/y＝c/zが分かりますね。そもそも、これが出発する条件であったわけです。

　しかし、a:b＝x:y＝b:c＝y:z＝a:c＝x:zとできるかというと、そういうわけにはいきません。

　試みに、a＝2,b＝4,c＝8とし、x＝4,y＝8,z＝16としてみると、2/4＝4/8＝8/16（＝1/2）ですけど、（1：2＝）2：4≠4：16（＝1：4）で成り立ちません。

　単純に数式の等式は成り立たないわけですね。

　では何が「⇔」なのかということになります。

　2/4＝8/16は成り立ちますし、2：8＝4：16（＝1：4）は同時に成り立っています。

-----------考慮時間（悩んでます）------------------

　すみません、仕切り直しします。

　こういうときは、見通しをよくするために、変数を減らせないか考えてみるのが役に立つことがあります。

　a/x＝b/y＝c/z＝1/wとしてみましょう。wが余計に増えたようですが、1を基準に考えることができます（比率のときは、1をどこかに入れてもいいのかもしれません）。

　すると、x＝aw, y＝bw, z＝cwですね。すると、x：y：zを考えると、以下のようになります。

　x：y：z＝aw：bw：cw

　これは、右辺は同じw倍していますから、全てwで割っても同じ比率です。すると、

　x：y：z＝a：b：c

　もちろん、左辺と右辺のどちらを先に書いても構いません。

　どうも、こちらのアプローチのほうが良かったかもしれません。

　私は以前に、「a/x＝b/y　⇔　ay＝bx　⇔　a:b＝x:y」「b/y＝c/z　⇔　bz＝cy　⇔　b:c＝y:z」」「a/x＝c/z　⇔　az＝cz　⇔　a:c＝x:z」まできて、ちょこちょこ自然数を入れて、「ははあ、そうなる」と思っちゃったものですから、そこから先を考えたことがなかったようです（私は愚鈍なので、分かったと思ったら先に進まないと、みんなに取り残されてしまうのです）。

　質問者様には、どちらの説明が良いでしょうか。どちらも駄目でしょうか。

　もし、「やっぱり、どっちも駄目。片方は途中だし。それでは納得がいかない」ということでしたら、補足欄で仰せつけください。頑張れるだけ頑張ってみます。

お礼

ありがとうございます

補足

後者がわかりやすい気がしますが…

　すると、x＝aw, y＝bw, z＝cwですね。すると、x：y：zを考えると、以下のようになります。
　x：y：z＝aw：bw：cw

はなにが起きてこうなったのでしょうか？

回答No.7

alice_44

a : b : c = xt : yt : zt と
xt : yt : zt = x : y : z の
どちらが解からないのか？

お礼

どちらもです
物わかりが悪いので…すみません

回答No.6

alice_44

飛躍というのは、t=0 を場合分けしなかったことかな？
その場合は自明だから、自分で適当に補ってほしい。

お礼

いえ… なんで
a = xt, b = yt, c = zt
が
a : b : c = xt : yt : zt = x : y : z
になるのかが分からないんです

回答No.5

alice_44

件は、
http://okwave.jp/qa/q7341850.html
↑で答えたんだけどな。

a/x = b/y = c/z = t と置けば、
a = xt, b = yt, c = zt より
a : b : c = xt : yt : zt = x : y : z。

お礼

＞a = xt, b = yt, c = zt より
＞a : b : c = xt : yt : zt = x : y : z。

私にはこの二つの間が飛躍しすぎて分からないです…解説お願いします

回答No.4

blanca0824

先ずa/x＝b/yがa:b＝x:yを照明します。
a/x＝b/y　から　a=bx/y,です。　a　に　bx/y　を代入すると

a:b=bx/y:b　となり、この右式に各々　y/b　を掛けると

a:b=(bx/y)*(y/b):b*(y/b)=x:y

です。

同様にb/y＝c/zがb:c＝y:zを照明できますから、
a/x＝b/y＝c/zがa:b:c＝x:y:zとなります。

お礼

なるほど
ただ二つの比が三つの比に繋がるのが分からないです…

回答No.3

noname#175206

>a/x＝b/y＝c/zがa:b:c＝x:y:zとなるのはなぜなのでしょうか？

　a/x＝b/yから、ay＝bxですね。どちらも全く同じことを言っています。

　もし、a：b＝x：yであれば、こういう比の式の定理（公式と言い換えてもOKです）「内項と外項の積は等しい」ということから、ay＝bxが成り立ちます。これも、どちらも全く同じことを言っています。

　どちらも、全く同じということで、全く同じのay＝bxが出てくるのですから、a：b＝x：yとa/x＝b/yは同じことを別の形で、やはり全く同じことを言っているということです。

　b/y＝c/zとb:c＝y:zも全く同じです。上記で、aとb及びbとcを入れ替え、xとy及びyとzを入れ替えれば、全く同じに、b/y＝c/zとb:c＝y:zが全く同じということが言えるわけです。

　すると、a/x＝b/yがa:b＝x:yであることと、b/y＝c/zがb:c＝y:zであること、その両方が成り立ちます。

　もう少し考えると、a/x＝c/zとa:c＝x:zも同様に、全く同じですね。

　この三つが同時に成り立つわけです。

　すると、「a/x＝b/y＝c/zがa:b:c＝x:y:z」となることが分かって来ないでしょうか。

　もし、「いやいや、それでは分からない」ということでしたら、補足欄で仰せつけください。私は説明がへたくそなので、うまく説明できていないかもしれません。

　もし、「ここが分からない」といった感じで、説明の良くないところを教えていただければ、何か説明の工夫ができるかもしれません。

お礼

優しいですね！とても助かります

補足

a/x＝b/yがa:b＝x:y
b/y＝c/zがb:c＝y:z
a/x＝c/zとa:c＝x:z
がどうして
a/x＝b/y＝c/zがa:b:c＝x:y:z
になるのでしょうか？

回答No.2

pasocom

一般的定理として
a:b=c:d　の時、ad＝bc　が成り立ちます。
ad＝bc　の両辺をcdで割れば
a/c＝b/d　となります。

これを質問の式に当てはめてみれば
a/x＝b/y　は a:b＝x:y　と同義だとわかります。
以下「b/y＝c/z」も同じように証明できます。

お礼

なるほど…ありがとうございます

回答No.1

Tacosan

どういうときに a:b:c＝x:y:z と書くのですか?

お礼

三角形の問題とかです…