微分の問題

質問

問題　　　eは自然対数の底し、f (x) = e^(x + a) - e^(-x +b) - c (a,b, c)は定数とするとき、曲線　y= f (x) は、その変曲点に対して対称であることを示せ。

y' = e^(x + a) + e^(-x + b), y'' = e^(x + a) - e^(x + b) となるのですが、これを導く式を教えてください。(e^x)' = e^x となるのは分かるのですが、それだと、y' = e^(x + a) - e^(-x +b) となるのではないのでしょうか。

> y'' = 0とすると、e^(x + a) = e^(-x + b) ゆえに、　x + a= -x + b, よって、x = (b-a)/2

ここで、p = x = (b-a)/2 とする。　また、y'' = e^(x + a) - e^(x + b) より、y'' ={ e^(2x+a) - e^b　} / e^x

x > p のとき、2x > 2p = b-a から、 2x + a > b　ゆえに、y'' > 0 　　さらに、x > p のとき、下に凸。
x < p のとき、2x < 2p = b-a から、 2x + a < b ゆえに、 y'' < 0 さらに、x < p のとき、上に凸。

よって、f (p) = e^(p + a) - e^(-p + b) + c = c であるから、変曲点は、(p, c)である。

ゆえに、曲線　y=f (x) を　x軸方向に、-p, y軸方向に、　-c だけ平行移動すると、

y=f (x + p) - c = e^(x + p + a) - e^{-(x + p) + b} + c - c = e^{x + (a+b)/2}　- e^{-x + (a+b)/2}
この曲線の方程式を　y= g(x) とすると、

g (-x) = e^{-x + (a+b)/2}　- e^{x + (a+b)/2} = -g (x) =　-[e^{x + (a+b)/2}　- e^{-x + (a+b)/2}]

よって、g(-x) = g(x) が成り立つから、曲線　y=g(x)　は原点に関して、対称である。
したがって、曲線　y=f(x) は、その変曲点に関して対称である。　終

ここで、質問なのですが、g (x)　のグラフが原点に関して、対称であるというのは、原点をはさんで、x <0 の区間と、x < 0 の区間のグラフが、原点に対して対称移動するときれいに重なるといったように、解釈してよろしいのでしょうか。

それからその際、g(-x)=-g(x) がなぜ、原点に関して対称だということを意味しているのでしょうか。

詳しい方教えてください。

回答No.1

151A48 · ベストアンサー

e^(-x+b) は　y=e^t と　t=-x+b の合成関数ですから，dy/dx=(dy/dt)(dt/dx)=(e^t)(-1)=-e^(-x+b)
です。したがって　f '(x)=e^(x+a) + e^(-x+b) , f "(x)=e^(x+a) -e^(-x+b) です。

ある関数 y=g(x) が原点対称であるとは，この関数上の任意の点　(x,y) の原点に関する対称点 　　(-x,-y) がやはりこの関数を満たすことなので，-y=g(-x) が成立しないといけない。つまりy=-g(-x)　。
y=g(x),y=-g(-x) より　g(x)=-g(-x) or g(-x)=-g(x)

例えば直角双曲線 y=1/x など原点対称な具体的なグラフをかいてみれば，直感的に明らかと思うのですが・・・。

お礼

e^(-x+b) は合成関数として、微分。

それから、なるほど、原点に関する対称点についてそのように考えると分かりやすいですね。

y=1/x のグラフで考える理解できました。
この問題のグラフは、原点の位置でも連続していたので、これも、原点に対して対称と呼べるのか否か迷っていました。

しかし、あらためて理解できました。
本当にありがとうございました。