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平面の方程式の問題です。

A(1,2,3)を通る光線が平面2x+y+z=1上の点Bで反射してC(3,2,2)を通るという。この時点Bの座標を求めよ。答えは(-3/5,4/5,7/5)です。解き方を教えてください。

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回答No.1

Aからの光が平面上の点Bで反射して、Cを通る、 光は最短距離となるルートを通るので、 AB+BCを最小にするようなBを見つければ いいことになります。 平面上の直線で、こういう点を見つける問題だと、 子供向けパズルの問題にもよくありますが、 ・その直線について、Aの対称点A'を求める。   対称性から、A'B=AB、   AB+BC = A'B+BC、これを最小にするには、   A',B,Cが一直線上にあればいい、ので、 ・A'とCを結ぶ直線を描く。 ・元の直線と今描いた直線の交点がB こういうふうにして解きます。 Cの対称点C'を求めて、AC'と直線の交点を求めて、 でも、同じことになります。 空間内の平面で反射する=AB+BCが最小に なるようなBの位置を求める場合も、 話は全く同じです。 A(1,2,3)の、平面2x+y+z=1についての対称点A'を求めるには、 ・AA'の中点が平面上にある。 ・AA'と平面が垂直である。 を使います。 実際には、 平面の法線ベクトルは(2,1,1)だから、 ↑OA' = ↑OA + ↑AA' = (1,2,3) + t(2,1,1) = (1+2t, 2+t, 3+t)、 すると、AA'の中点は(~)で、これが平面上にないといけないから、 平面の方程式に代入して、~=1、これを解くと… のようにして求めるのが簡単かと。 後は、A'Cと平面の交点を求める訳ですが、 これも、BはA'C上の点なので、 ↑OB = ↑OA' + s↑A'C のようにして、 Bの座標=成分を、平面の式に代入して、 方程式を解けば、いいでしょう。

rei12m
質問者

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  • rnakamra
  • ベストアンサー率59% (761/1282)
回答No.3

A,Cから平面に下ろした垂線の足をD,Eとする。 Bは線分DEをAD:CEに内分する点になります。

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  • 151A48
  • ベストアンサー率48% (144/295)
回答No.2

平面の法線ベクトルが(2,1,1)なのでAから平面に下ろした垂線の足をHとするとHの座標は  (1,2,3)+t(2,1,1)=(1+2t, 2+t, 3+t) これを平面の方程式に代入して t=-1 従ってAに平面についての対象点をA’とするとA’は (1,2,3)-2(2,1,1)=(-3,0,1) :AHを2倍にのばした。 ベクトルA’C=(6,2,1) と計算できるのでBは (-3,0,1)+k(6,2,1)=(-3+6k, 2k, 1+k)・・・* これを平面の式に代入してk=2/5と出せる。*式にもどして答え。

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このQ&Aのポイント
  • 【mfc-j4440n】のインソールができないトラブルについて相談です。アップデートができず、本体パスワードを入力しても拒否されます。
  • お困りの環境はWindows11で、無線LANで接続しています。関連するソフト・アプリの情報はありません。また、電話回線は光回線のup電話です。
  • ブラザー製品【mfc-j4440n】のインソールができないトラブルです。パソコンのアップデートができず、本体パスワードを間違えると拒否されます。環境はWindows11で、無線LANで接続しているとのことです。
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