- ベストアンサー
線形代数I 空間における平面の交線
- みんなの回答 (3)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
平面 ax+by+c=0 の式で (a,b,c) はこの平面に垂直なベクトル(法線ベクトル)であることをまず押さえてください。 (1)LはS1,S2上ににあるので,それぞれの法線ベクトルに垂直です。従って, (1,2,1),(2,5,-1)に垂直なベクトルを求めれば,これがLの方向ベクトルです。 求め方は (x,y,z)とおいて内積0より求めます。一意には定まりませんが例えば(-7,3,1) (これは,2つのベクトルの「外積」を求めることなのですが,簡単な求め方がありますので,調べてみて下さい) 2つの平面は原点を通っていますから,Lも原点を通ります。よってL上の点を(x,y,z)とすると (x,y,z)=t(-7,3,1) tは任意の実数 が求める答えです。ただし通常tを消去して x/(-7) =y/3 =z/1 の形にします。 (2)L上の点は(x,y,z)=(-7t, 3t, t)なのでS3のx,y,zに代入してt=1が求まると思いますので(-7,3,1) (3)平面の方程式を作るには,その上の1点と,法線ベクトルが必要です。 S4上には原点と(2,2,4)があります。 法線はLの方向ベクトル(-7,3,1)とベクトル(2,2,4)に垂直なので,例えば(1,3,-2)と出ます。 S4上の任意の点を(x,y,z)とすると,ベクトル(x,y,z)とベクトル(1,3,-2)が垂直より(内積0) x+3y-2=0 *座標は原点を始点と見たときベクトルです。 」
その他の回答 (2)
- think2nd
- ベストアンサー率63% (23/36)
これ 高校生の問題です。 線形らしく解いても (1)はS1 S2とも同次方程式ですから原点を含みます。よって交線も原点を通ります。 S1 S2 の法線ベクトルがそれぞれベクトルa=(1,2,1)、ベクトルb=(2,5,-1) ですから、交線の方向ベクトルはa,bの外積ですa×b=(-7,3,1) より、交線Lの方程式は-x/7=y/3=z (2)は(1)を代入してx,yを消去すればできると思います。 (3) Lを含む平面の方程式はkを定数として x+2y+z+k(2x+5y-z)=0 (平面束のような式です。)とおけます。 (2,2,4)を含みますからこの式に代入すると10+10k=0 ∴k=-1ですから、 求めるS4はx+3y-2z=0 くらいです。図を書いて根本を理解しましょう。
- info22_
- ベストアンサー率67% (2650/3922)
(1) S1,S2をx,yの連立方程式と見倣してx,yを求めると x=-7z,y=3z …(A) 従って交線Lの方程式は x/(-7)=y/3=z …(B-1) または x/7=y/(-3)=z/(-1) …(B-2) (2) (A)をS3に代入して -7z+9z+z=3 ∴z=1 (A)に代入 x=-7,y=3 ∴交点P(-7,3,1) (3) S4を ax+by+cz=d (ただしa,b,c,dは同時に0ではない) …(C) とおくと点(2,2,4)が(C)上にあることから 2a+2b+4c=d 点P(-7,3,1)も(C)上にあることから -7a+3b+c=d …(D) L上の点(7,-3,-1)も(C)上にあることから 7a-3b-c=d …(E) (C),(D),(E)から b=3a,c=-2a,d=0 (a≠0) (C)に代入 ax+3ay-2az=0 a≠0で割って 平面S4の方程式は x+3y-2z=0
関連するQ&A
- 線形代数の問題です。解き方を教えてください。
ありがとうございます。 いつもお世話になってます。 2平面 x-3y+z=0 , 3x+2y-z=-4 の交点をLとし、L上にない点P(1,2,-3)をとる。 (1)点Pを通り、交線Lに平行な直線の方程式を求めよ。 (2)点Pを通り、交線Lに垂直な平面の方程式を求めよ。 教科書を見ましたがわかりません。 どなたか、順をおって説明をお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 線形代数 空間図形とベクトルで 分からない問題があるので教えて下さい。
1. 直線l1: x+1/1 = y+2/2 = z+3/3 l2: x-1/1 = y-2/4 = z-3/-3 この2直線のなす角を求めよ 2. 平面p1:2x+3y+z=0 p2:2x-y-z=2 (1)この二つの平面のなす角を求めよ (2)二つの平面の交線の方程式を求めよ 教科書にこのタイプの問題が無くて・・・解き方が全く分からないので、詳しい解法を教えていただけると嬉しいです。よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 二平面の交線の方程式
二平面の交線の方程式 (1)二平面 x+2y-z-4=0 と x-y+2z-4=0 の交線の方程式を求めよ。 (2)(1)の交線と点(0,1,0)とを通る平面の方程式を求めよ。 解答よろしくお願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 線形代数学Iの質問(2)
線形の質問です。 わからないのがいっぱいあるんですが解説お願いします(^^;) 問1 球面S:(x-1)2+y2+(z-2)2=44と、Sの中心を通る直線L:x-1=y/-3=-z+2とを考える。 (1)SとLとの交点の座標を求めよ。 (2) (1)で求めた交点を接点とする接平面の方程式をもとめよ。 問2 空間において次の直線の方程式を求めよ。ただし助変数を消去し、方程式の変数をx,y,zのみにせよ。 (1)2点(1,0,3),(3,0,3)を通る直線 (2)1点(1,-1,3)を通り、平面2x+y-2z=3に垂直な直線 (3)1点(0,2,3)を通り、直線x-3/4=-y=z+1/2に平行な直線 問3 次の方程式で表される平面の法ベクトルをひとつ求めよ。 (1)x+4y-7z=3 (2)3x+5z=7 (3)y=x-8 です。お願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 線形代数の問題がわかりません。
線形代数についての以下の問題がわからないので、過程も含めて解答を教えて下さい。 3次元直交座標系で表される空間内の点P0(x0,y0.z0)と、これを通らない直線(x-x1)/u = (y-y1)/v = (z-z1)/wを含む平面の方程式を求める。 (1)点P0を含む任意の平面を表す方程式を記してください。 (2) (1)の方程式の平面が点(x1,y1,z1)を含むこと、直線を表す式を記してください。また(1)の平面が上記の直線と平行であることも示してください。 (3)求める平面の方程式は次式で与えられることを示してください。 | x-x0, y-y0, z-z0 | | x1-x0, y1-y0, z1-z0| = 0 | u, v, w |
- 締切済み
- 数学・算数
- 線形代数IAについて
問題集を解いていて、次の問題でつまずいています。 次の二直線が一点で交わることを示し、その交点の座標と二直線を含む平面の方程式を求めよ。 x-2=y-3/2=z-4/6,x+3/2=-y+3=4-z/3 という問題です。略解がついているのですが、理解できません。 解法を教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 平面束
空間において、(直線1の方程式)+k(直線2の方程式)=0が平面を表すことが疑問なので質問します。 1問目は、xyz空間において、直線x+y=4、z=1を含む平面αと、球x^2+y^2+z^4=4との交わりの半径が1の円であるとき、αの方程式を求めよという問題で、 平面z=1と球面との交わりは半径√3の円だから、平面z=1は平面αではない。そこで、αの方程式は、x+y-4+k(z-1)=0・・・(1)と表すことができる。と解説に書いてあるのですが、(直線1の方程式)+k(直線2の方程式)=0は平面では、直線1と直線2の交点を通るすべての直線(直線2は除く)を表すので、空間でも(1)は直線x+y-4=0とz-1=0との交点を通るすべての直線を表すと思ったのですが、なぜ平面αを表すのでしょうか?自分なりのこじつけをすると、x,y,zを含む方程式だから、(1)は平面を表すとか、直線x+y-4=0とz-1=0は平行で交わることはない、両方を含むのは平面になるからと思いました。 また、2問目は、直線L:(x-1)/2=y+2=1-zを含み、 点A(1,2,-1)を通る平面αの方程式を求めよ、という問題で 直線Lを(x-1)/2=y+2とy+2=1-zに分けて、x-2y-5=0とy+z+1=0とし、ゆえにL上の点(x,y,z)はすべて(x-2y-5)+k(y+z+1)=0・・・(2)を満たす、すなわち、kがどんな実数値をとっても、この方程式はLを含む平面を表すとかいてあるのですが、x-2y-5=0とy+z+1=0がそれぞれz軸に平行な平面とx軸に平行な平面を表せば、(2)はLを含む平面を表すことは納得できるのですが、x-2y-5=0とy+z+1=0がxy平面上の直線とyz平面上の直線ととらえてしまうと、1問目同様に平面を表すことが疑問になります。 どなたか、(直線1の方程式)+k(直線2の方程式)=0が平面を表すことを解説してくださいお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数