数学の問題の解き方がわからないので教えて下さい。

質問

方程式Ｘ２（２乗）－ｋＸ＋ｋ－３＝０は負ではない２つの異なる実数の解をもつという。
ここで、ｋは定数とする。

（１）この方程式の1つの解が他の解より３だけ大きいとき、ｋの値を求めよ。
（２）（１）で得られたｋの値に対し、この方程式の2つの解を求めよ。

よろしくお願いします。

回答No.4

yyssaa

以下、２乗を^2(例えばx２乗はx^2)と書きます。
二次方程式x^2-kx+k-3=0の解は、解の公式からx=(k±√(k^2-4*(k-3))/2
=(k±√(k^2-4k+12))/2・・・(ア)となります。
まず、２つの異なる実数の解をもつという条件から√の中は正でなければ
なりませんが、k^2-4k+12=(k^2-4k+4)-4+12=(k-2)^2+8と変形すると、この
√の中の値はkの値にかかわらず常に正であることが分かります。
（１）この方程式の1つの解が他の解より３だけ大きいとき、ｋの値を求めよ。
上記の二つの解の大きい方=(k+√(k^2-4k+12))/2・・・(イ)
　　　　 　〃　　　　　小さい方=(k-√(k^2-4k+12))/2・・・(ウ)ですから、
(イ)ー(ウ)=(k+√(k^2-4k+12)-k+√(k^2-4k+12))/2=√(k^2-4k+12)となり、
√(k^2-4k+12)=3を解いてkを求めます。
両辺を２乗してk^2-4k+12=9→k^2-4k+3=0、左辺を因数分解すると
(k-1)(k-3)=0となるので、答えはk=1とk=3になります。
（２）（１）で得られたｋの値に対し、この方程式の2つの解を求めよ。
k=1の場合
k=1を(ア)式に代入しx=(1±√(1^2-4*1+12))/2=(1±√9)/2=(1±3)/2となり、
x=4/2=2及びx=-2/2=-1となります。
k=3の場合
k=3を(ア)式に代入しx=(3±√(3^2-4*3+12))/2=(3±√9)/2=(3±3)/2となり、
x=6/2=3及びx=0/2=0となります。
よって答えはk=1の場合が２とー１、k=3の場合が３と０になります。

お礼

ご回答ありがとうございました。