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θ回転の複素数の利用
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＞高校数学ではでてきませんよね・・・ 質問者さん自身の学年は、対象ではないんでしょうが、 もうすぐ、数学は新課程、教科書が新しくなり、その数IIIの教科書で扱われるようになります。 この問題ができる前提として、 現行の数学Ｃで、行列・一次変換・回転変換を学んでいると手っ取り早いのですが、 でなければ、教科書・参考書・インターネットサイトなどでチェックしてから… まず、回転変換行列を使って、(p,q)をθ回転した結果を書き出しておきましょう。 (p,q)*(回転変換行列) = (x,y) とすると、x = ～、y = ～ と表せますね。 もしも、回転変換が、うまく解らなかったとしても、大丈夫、そのときは、 P(p,q),O(0,0),A(1,0),P'(x,y)として、OP=OP'=r, ∠AOP = α, ∠POP' = θとおくと、 図を描けば解る通り、∠AOP' = α+θになりますから、 (x,y) = (r*cos(α+θ), r*sin(α+θ))、加法定理で展開して、rとαを消せば出来上がり、 数学IIの教科書・参考書に、加法定理の図形的な証明の図があれば、参考になります。 次に、問題の式の左辺を展開します。 (展開した式)=x+yi から、x = ～、y = ～、と書き表せますよね。 (ちょっと悩んだ場合に備えて、書いておくと、x,y,p,q,θは実数なので、 実数部と虚数部に分ければ…、ここんとこは、今の数IIの範囲内ですよね) で、できた２つを見比べると…、解りましたよね。 座標平面で、点(x,y)を、複素数 x+yi を表す点、点(p,q)を、複素数 p+qi を表す点、 のようにみたものを、複素(数)平面、または、ガウス平面といい、 ここでの複素数の足し算・引き算は、座標やベクトルの足し算引き算のように、平行移動を、 掛け算・割り算は、一次変換のように、相似変換・回転変換を組み合わせたものになることが解っています。 便利な公式としては、加法定理を忘れたときに、α+βの回転を表す複素数は、 cos(α+β) + i*sin(α+β)、これは問題の結果から、(cosα+i*sinα)(cosβ+i*sinβ)と同じになることが解る、 右辺を展開して、左辺と比べると(実部・虚部に分けて考える)、加法定理が出てくる。 α=βで同じ計算をすると、２倍角公式が出てくる、このへんは完全に覚えていれば、問題ありませんが、 同じ仕組みで、cos(nθ) + i*sin(nθ) は、θの回転をn回やったものだから、 (cosθ + i*sinθ)^n (～^nは～のn乗を示す) と同じ、 すると２項定理で展開し、実部虚部に分けて両辺を比較すると、何倍角の公式でも、 割とすぐに出せる、必要があるときは、かなり便利です。 高校の学参で、科学振興新社の「モノグラフ」シリーズという、受験対策で使うには、 ハードすぎるかも、という、分野別参考書がありますが、この中に「公式集」というのが あり、「公式集」というより、分野ごとに、基本参考書の説明よりグッとコンパクトに、 受験参考書の章ごとのまとめより詳細丁寧にまとめてある、高校の全範囲の復習 に持って来いの参考書、現在のバージョンは、現行教科書の順番をベースに まとめてありますが、かつて高校範囲だったものは、必ず入れてある、なので、 現行のものにも、複素数平面が入っていて、１つ前のものにも、微分方程式は あった、難関大学の入試には、それなりに出るのに、教科書や参考書では、 独立の章がない(新課程では数Iにあるそうですが)ことが多い「整数の問題」も、 昔からずっと１章ある、、１冊手近においとくと重宝する本です。 これ読むと、複素数平面絡みで、他にも、使えそうな知識、公式がいっぱい。 私のイチオシです。
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- 151A48
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p+qi=r(cosα+isinα), r=√（p^2+q^2) , αは実軸（ｘ軸）とp+qiのなす角 と書ける。 (p+qi)(cosθ+isinθ)=r(cosα+isinα)(cosθ+isinθ) 右辺を展開して実部と虚部に分け，三角関数の加法定理。 絶対値は変わらず，角度がθ増えている（つまりθ回転した）のが確認できると思います。 前の指導要領のときは高校生も勉強しました。この領域は高校の範囲から出たり入ったりしています。
お礼
さんくす！
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お礼
丁寧な解説で分かりやすかったです。 モノグラフシリーズは学校の図書館にあるので 早速借りたいとおもいます。 教えていただき、本当に感謝です。受験まであと１年。頑張ります。