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無限集合の濃度とは？連続体濃度よりも大きな濃度とは？
noname#221368の回答
#12です。 ＞沢山２の集合のイメージを掴んでみたいものだ、と思った次第です。 これには「これ」というイメージはないでしょうね。絶対に見れないものを、見ようとしてる訳ですから。自分は、#3で述べたような危ないイメージを持ってます。#4さんの指摘だけでなく、これを「情報量」と結びつけて考えたい、という誘惑にかられます。・・・また一杯怒られそうだ・・・(^^)。 ところでここでは、 ・なんで全単射じゃ駄目なんですか？ （蓮舫さんじゃないですが・・・） と質問してみます。 全単射の存在 ⇔ 同濃度． (1) という「定義」は、自分には、とても自然に見えるからです。(1)は、日常生活で常に行っている、「指折り数える事」を抽象化した数学的表現だと思います。自分の5本の指と、5個の物体を、「余すところなく、１対１に対応付ける事」 ⇔ 「全単射」 という構図です。 (1)の妥当性は、Ａ，Ｂが有限集合の場合は明らかです。実際、 ・ＡからＢ，ＢからＡへの単射がともに存在する ⇔ 全単射がある ⇔ 同濃度（同じ個数） (2) が成り立ちます。つまりＢの要素は、指（Ａ）以上あり、余りもなかったという当たり前の話です。問題はこれを、無限集合に持ち込んだら、どうなるか？です。 Ａ，Ｂが無限集合の場合、ふつうの考えでは同濃度でないと考えられる集合間にも、(2)の、「最左辺 ⇔ 中辺」が成り立ってしまう（ベルンシュタインの定理）。卑近な例は、偶数全部の集合Ａと、整数全部の集合Ｂだと思います。 ＡはＢを半分に抜粋したものだから、絶対にCrad(Ａ)＜Crad(Ｂ)に違いない、が普通の感覚です。しかし偶数ｍを、整数ｎで、ｍ＝2ｎと書いてしまうと、(2)の「最左辺 ⇔ 中辺」は明らかです。この時も(1)の妥当性を信じて、「中辺 ⇔ 最右辺」を認めるかどうかです。ここで立場は、概ね2つに分かれると思います。 (3)現行の集合論は、どこかおかしいのではないか？。有限で成り立つ(1)を、盲目的に無限に適用した結果がこれだ。偶数と整数の集合で、(1)は機能不全を起こしている。従って(2)は認められない。 (4)これはとても魅力的な事だ。「1，2，・・・沢山」の沢山の個数を、一般的に比較する手段が見つかった。沢山は階層化できる可能性がある。 もちろん致命的な欠陥があれば、(1)は廃止されたはずです。そこで色々試されます。アレフ＋アレフ＝アレフの話が出たので、次の例をあげます。以下で、アレフ以下と書いたら、アレフ以下（有限含む）です。 ・アレフ＋アレフ以下＝アレフ (5) ・アレフ×アレフ以下＝アレフ (6) (5)，(6)については、ベルンシュタインの定理などを援用して、一般的に全単射の存在を示せます。次に濃度の引き算，除算ですが、定義できません。それは解無しの意味でなく、不定解だからです。それは(5)を見れば明らかと思いますが、解は（一つではないが）ある事に注意して下さい。 引き算（もどき）を考える場合は、不定解なので、特定の状況を用意する必要があります。例えば、アレフ＝Card(Ｒ)＝連続無限，アレフ以下＝Card(Ｑ)＝可算無限，Ｑ⊂Ｒは有理数の集合、という状況で考えます。(5)を見れば、答えにはすぐ見当が付きます。 「本当は、こんな式は書いてはいけない」という但し書きのもと、 Card(Ｒ)－Card(Ｑ)＝Card(Ｒ) です。なので、Ｒから素数全部を抜いたＲ’とＲの間には、全単射が必ず存在します。それは(5)の証明を、少々組み変えるだけです。 (5)は、次のようにも読めます。連続無限にとって、可算無限は有限と変わらない。よって「連続無限－可算無限」⇒「連続無限－有限」⇒「連続無限－1」⇒「沢山－1」＝「沢山」となり、沢山は沢山だから全単射、という自分の呑気さの出所です(^^)。 このように色々試されたのですが、数学の通常営業（？）に関しては、さしたる支障は出ませんでした。ただし、余り奔放にやると矛盾する事がわかったので、矛盾の出ない限界を「経験的に」定め、公理的集合論が登場します。そうなると次の問題は、経験的限界内では完璧に上手く行くのか？、ですが、 「「完璧に上手く行く保証を与える事は、無理」な事が、保証されてしまった」 という悩ましい状況です。なので、(3)の立場は、今でも「あり」なんです。その一つが、全ての無限集合を可算無限に抑える公理系の立て方です。無限の、沢山の階層化は許さん、とする立場です。 最後に対角線論法ですが、(1)を妥当と認めたとしても、全ての無限集合の間に全単射が成り立ってしまったら、身も蓋もない話になります。そうでない例が、最初に対角線論法で発見され、整備してみると、とても強力な方法だとわかりました。対角線論法は、存在証明で「ない」事に注意して下さい。 ＡからＢへの全単射が存在すると、仮定する ⇒ 矛盾する ⇒ ＡからＢへの全単射が「存在してはいけない」 です。だからCard(Ａ)＜Card(Ｂ)を示すような別の方法が無いとは、誰も言えない事になります。それは(1)に反するものかも知れません（望みは薄い気はしますが）。その望みの薄さを感じ取って、強力で一般的な保証を与えてくれる対角線論法を多用しているのが、実情と思えます。要するに#13さんの仰るように、ケースバイケースで事に当たってます・・・、自分は余り楽しくないですけど・・・。 いずれにしろ日常感覚とは、かけ離れた話にはなります（・・・無限ですからね）。#13さんの仰るように、「数学は数学の事として語るのが良い」は、本当です。 と言いつつ、自分はいつも逆だな、と今ちょっと思いました・・・(^^；)。
- noname#221368
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