無限集合の濃度とは？連続体濃度よりも大きな濃度とは？

質問

• 無限集合の濃度について調べていると、ヘブライ文字 ‭א を使った記号表記についての記述を見つけました。
• 無限集合の濃度の表現方法は、ヘブライ文字 ‭א の添字を用いる方法が一般的です。
• 無限集合の濃度で特に注目されるのは、連続体濃度よりも大きな濃度を持つ無限集合です。

回答No.12

noname#221368

#3です。基本的なところと思えるので、確認してみたくなりました。

＞無限集合を比較する時には、単写できるかどうかで、濃度が同一か否かの議論はできないなと思うわけです。

　単射では駄目です。そのような事は、偶数から自然数への「不味い」写像の例などで、既にご経験済みの事と思います。全単射でないと駄目です。単射になる写像f：Ａ→Ｂの存在を示しただけでは、Card(Ａ)≦Card(Ｂ)しか言えません。これは有限集合を考えたら、明らかと思います。

　全単射の存在　⇔　同濃度．

を、違和感なく納得なさっているのでしょうか？。そうであれば、自分としては何も言う事はありません。

＞R'からRに単写（全単射　←　自分の追記です）できまませんが、・・・

　それとも例えば、R'からRへの全単射が「なさそうに見えた」、というところが「腑に落ちない原因」だったのでしょうか？。確かにある任意の集合からある集合への全単射の存在を示すには、苦労する場合もあります。それは、#9～#11さんの応答を読めば、わかると思いますが、こういう場合に自分は、数学専門ではないので、次のように「気楽」に考えてしまいます。

　無限の定義には数種類ありますが、最もわかりやすいのは、次だと思います。

　　・無限とは、有限でない事．

　この定義の前には、有限に関する厳密な数学的定義はもちろん必要な訳ですが、これは言い当て妙だと思います。つまりこの定義は、「1，2，3，・・・，沢山」という数え方と同じです。無限は計数不能だ、という定義です。
　だとしたら、計数不能なＲから、一点πくらい除いたって、「沢山－1」も「沢山」＝「計数不能」＝「無限」なんだから、「R'からRへの全単射が存在するに違いない」という感覚を持ってしまいます。

　もちろんこの全単射を、ふつうの意味で具体的に構成できない場合もあるでしょう。しかし「選択公理」でも持ちだせば、「非構成的に存在する事は示せるさ」、とも思ってしまう訳です（←その証明を、やりもしないくせに）。お気楽過ぎるのかなぁ～、と時々自分でも思います。どうしてかと言うと、濃度の一つの定義は、以下だからです。

　　・2つの集合間に全単射が存在する、という関係は、同値関係を満たす．
　　・なので、その同値類の代表元（集合）をＡとした時、Ａが属する同値類をＣとして、Card(Ａ)＝Ｃと「みなせる」．
　　・これをCard(Ａ)の定義にしよう！、となるからです。

　どうでしょうか？。

お礼

再投稿ありがとうございます。

　全単射の存在　⇔　同濃度．

上記に全く同感できません。
ですので、実数の濃度が加算濃度と異なることの証明が二種類あって、そのうち、対角線論法を使用しない方、極限値をもとめる方法でアレフ０とアレフの違いまでは納得くしておりました。

すなわち、
「1，2，3，・・・，沢山０、沢山」という区別ですね。

ところが、今回、ひょんなところでアレフ２なる記述に出会いました。

言いかえると「1，2，3，・・・，沢山０、沢山１、沢山２、、、」という事を示唆されたのものですから、沢山１と沢山２は何が違うんねん？　沢山２の集合のイメージを掴んでみたいものだ、と思った次第です。

ちなみに、
　・無限とは、有限でない事．

この定義は、二三年前にカントールの話が書いてある本、
「大人のための数学(3)　無限への飛翔　集合論の誕生」を読むまでは、疑問を持っていませんでした。

無限とは有限の否定概念であるという単一概念であり、濃度の違いなど解像度良く無限を観たことはありませんでした。

上記の本に出会ったおかげで、無限の概念に対する解像度が向上したのですが、沢山１と沢山２の違いは未だに腑に落ちませんねぇ。