無限集合の濃度とは？連続体濃度よりも大きな濃度とは？

質問

• 無限集合の濃度について調べていると、ヘブライ文字 ‭א を使った記号表記についての記述を見つけました。
• 無限集合の濃度の表現方法は、ヘブライ文字 ‭א の添字を用いる方法が一般的です。
• 無限集合の濃度で特に注目されるのは、連続体濃度よりも大きな濃度を持つ無限集合です。

回答No.13

alice_44

基本的なことについては、また間違いを
やらかすといけないから、ひとことだけ。
AからBへの単射が存在する ⇔ AはB以上の濃度
は、これ自体が「濃度」の定義です。
府に落ちるとか、理解するとかいう話ではない。
ただ、知っておくだけのことです。

R''→R の全単射は、
No.10 と似たような感じに
x→x/p (xが素数pの累乗のとき)
x→x (それ以外のとき)
でもよいし、
更に穴を増やして、ハサミウチする手もあります。
R''' を R から自然数を除いた集合とすると、
R⊇R''⊇R''' より ♯R≧♯R''≧♯R''' ですが、
R'''→R の全単射
x→(1-x)/2 (xが奇数のとき)
x→x/2 (xが偶数のとき)
x→x (xが整数ではないとき)
が存在して、♯R=♯R''' です。
他にも、やり方はいくやでもあります。

いつでも濃度の比較ができるマニュアル式の
やり方はないので、厄介というか楽しいですが。

お礼

再三のご教授ありがとうございます。

そうですか。MとNがおなじ濃度である場合には、必ず全単射ができるはずなんですね。

最後に一つだけおしえてください。
実数からなる集合をRとする。
Rにリンゴを加えた集合をXとする。
この場合、XはRよりも濃度が高い集合ってことになりますか？

もし、これがYESなら、原質問の
「直観的に理解できそうな実例を一個・二個、お示し頂けると、、、」
がクローズできそうです。