ある表現が命題かどうかを示すには？

質問

次の表現
a.月は地球の衛星である。
b.今日は天気がいい。
c.任意のxについてx＋y＝2である。
が命題かどうかを示し、命題であれば、その真理値を示せという問題があるのですが、
まず、これらの表現が、命題であるかどうかを示す方法がわかりません。
命題とは、真あるいは偽であるかが定まる文章ということなので、
aは真偽がはっきりしているので命題だと思うのですが、
（ここで、真偽がはっきりしているから、ということでこの表現が命題であることを示したことになるのかが分かりません）
b、cはどうなるのでしょうか？
bで天気というのは、晴れ・曇り・雨などいろいろあり、単にいい悪いとはいえないので、命題ではない？
そしてcではxは任意ですが、yは決まっていないのでどうなるのかさっぱりわかりません。

ということで、私の考えでは
aは命題、この命題は真なので、真理値は1
bは命題ではない
cは、わかりません。
ということまでしか分かりません。（というか、あっているのかも分からない）

解き方が分かる方がいましたら、是非教えて欲しいと思います。
よろしくおねがいします。
長々とした文章でスイマセン。

回答No.11

jmh

“ｃのｙには「２－ｘ」というモノを代入…”はウソだったです。デタラメ言ってごめんなさい。
２－ｘのｘが∀ｘのｘと同じとは思えないです。∀は２－ｘのｘを束縛しないと思います。ｃにはｘという文字は含まれていないと考えてよいと思います。ｃは関数Ｐ（ｙ）のようなものと考えてよいと思います。

例えば、ある関数を「今日」と名付ける、それが可導であることを「いい天気」と言う。これで定義です。普通、命名が直感に合致するようにしますが、それは別の問題だと思います。現実の天気は数学の対象ではないと思います。

回答No.10

stomachman

これって命題ってどういうことか、を突き詰めて考える問題であって、「解き方が分かる」とか、そういうモンダイじゃないと思いますケド、

a.月は地球の衛星である。
b.今日は天気がいい。
c.任意のxについてx＋y＝2である。

●まずbから行きましょう。
「今日」が対象、「…は天気がいい」は1つの対象に関する述語です。記号で書けば
天気がいい（今日）
てな感じでしょう。
　もしも「今日」「…は天気がいい」がキチンと定義できていたとすると、コレは命題です。ですが、キチンとやるにはいささか過激な拡大解釈が必要となります。例えば「…は天気がいい」は「0:00～24:00において、東京タワー特別展望台から観測して、雲量が全天の50%を越える瞬間が一度もなかった日の事を『天気がいい』とする。」とでも定義する。雲量がどうしたこうしたもさることながら、「どこで」を言わなきゃ話になりません。で、定義の中で「どこで」を勝手に述べちゃったのが＜過激な拡大解釈＞ってことです。
　しかしです、「今日」の方はそうは行きません。今日の日付によって、「今日」という言葉が指す日が違う。対象が定まらないのです。どう拡大解釈しても（「今日」という言葉の意味を勝手にまるきり変えてしまうのでない限り）「キチンと」にはなりません。かくて、時と共にbの真偽が変わってしまうのでは、こいつは命題とは呼べないなー。

●ではaはどうでしょうか。
　「月」「地球」は対象、「…は…の衛星である」は2つの対象に関する述語です。記号にしてみれば
衛星である（月, 地球）
てな感じでしょう。もし、「月」「地球」「…は…の衛星である」がキチンと定義してあったとすると、これは命題に違いない。で、「月」「地球」「…は…の衛星である」はキチンと定義できますかね。どうでしょう。
　地球の年齢は46億年なんて言われています。月はたとえば44億年の年齢だと考えてみましょう。すると、４５億年前には月はなく、ゆえに「月は地球の衛星である。 」は偽であった。さらに、いずれ何かの拍子で月か地球が消滅してしまう可能性も全くゼロとは言えません。いつまで「月は地球の衛星である。 」は真なんでしょう。
　時と共に真・偽が変わってしまう（少なくともその可能性がある）んではaは命題とは言い難いですね。もちろん「×年×月×日正午には月は地球の衛星である。」と言えば、これは命題になるでしょう。（いや、テツガク的には「昨日の月と今日の月、同じ月だとどうやって証明するんだ？」という大問題が残ってはいるのですが。）

●cは数学の世界、時とは無縁の変化しない世界の話ですんで、「いつ？どこでー？」なんて心配は要りません。
　x,y,2が対象、+は2つの対象からひとつの対象への写像で、だから(x+y)もまた対象です。=は2項述語です。記号で書けば
∀x(=(x+y,2))
ですけど、=(x+y,2)のことを x+y=2 と書く決まりなので
∀x(x+y=2)
となります。
さて、cは +, =, 2の意味がきちんと定義してある場合、命題なのかどうか。
　+と=はふつーの意味で定義されてるとしましょう（これやるの、実はすんごく大変なのですけどね。）で、
∀x(x+y=2)
の真偽はyが何であるかによって変わりますから、こいつは命題ではない。

　一般に「∀」や「∃」で縛られていない変数を自由変数と言って、論理式の中に自由変数が残ってるのを「開いた論理式」と言います。「開いた論理式」は命題ではない。自由変数が残っていないのを「閉じた論理式」と言います。たとえば、
∀y∀x(x+y=2)
∀x∃y(x+y=2)
などは閉じた論理式です。ではこれらは命題か？
　残念。xは任意であって、数だなんて誰も言ってません。ですから、xが例えば集合{1,2,3}であったとしてみましょうか。{1,2,3}に対して普通の+は使えないんで、(x+y)は「何も意味しない」。ですから、
∀x∃y(x+y=2)
と言ってみてもなお、こいつは命題ではありません。
そこで例えば、自然数の集合Nと集合の要素を表す関係∈がキチンと定義してあるとして、
∀x(x∈N →∃y( x+y=2))
つまり「任意のxについて、もしxが自然数であるならば、yが存在して x+y=2である」とまで言えば、ようやくこいつは命題になります。

　じゃ、その真偽値は？というと+の定義に依る。
　もし+が自然数の足し算を表しているのなら、x+yが意味を持つためにはyは自然数でなくてはならず、するとx=3のとき、x+y=2となるyは存在しませんから、この命題は偽です。
　もし+が整数（あるいは有理数、実数、複素数）の足し算を表しているのなら、x+yが意味を持つためにはyは整数（あるいは有理数、実数、複素数）でなくてはなりません。で、xがどんな自然数であろうと、y=2-xは存在します。だから、この命題は真。

回答No.9

sanori

なるほどー。
ｙ＝ｆ（ｘ）で考えてはいけないのかもしれませんね。

また自信が無くなってきました。

ちょっと考えてみたので、見解を書きます。

真偽の判定ができる、ということは
「何ちゃらならば何ちゃら」
というように証明問題の対象になる、ということと
同値のような気がします。

ここで、天気の件について、「今日」とか「良い」とかをちゃんと定義してやった上で詳しく書くと
「“今日”すなわち地点□における○月△日の日の出から日没までの総合的な天候状態は、“天候良い状態指数”７０～１００の範囲の間にあること」
みたいな感じになって、やはり証明問題の対象になりそうですから、命題のような気がします。

「任意のＸについて．．．」も、依然、命題のような気がしますが．．．

やはり自信はありません。

前回答の「自信：あり」は取り消しです。ごめんなさい。
専門家の方々の鋭いご見解を、私も拝承いたしたく。

回答No.8

fushigichan

secret-gooさん、こんにちは。
＃２です。あれから、このご質問のことが気になっていました。
「命題とは」で検索したら、あるファイルを開けようとすると、パソコンが動かなくなってしまいました。みなさん、ご注意ください。

さて、

＞b.今日は天気がいい。

は、やはり命題ではありません。
命題とは、ハッキリと真偽のつくものです。
「天気がいい」というのは、人によって判断が違いますね。
下の参考URLでも、「私は金持ちである」というのは
一体何がお金持ちの基準なのか、ということです。
貯金が１００万あったら金持ちなのか、財布に１万円以上あれば金持ちなのか・・
その辺の判断が人によって違うので、これは命題ではないです。
でも、

「財布に１万円以上入っている人を、金持ちと定義する」という前提があって
「私は財布に１万３千円ある」という場合は
「私は金持ちである」という命題は真になります。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%91%BD%E9%A1%8C

＞c.任意のxについてx＋y＝2である。

については、数学では変数を含む命題も登場するということですが、
ただし、変数xの存在する範囲（定義域）が決まっているものとする、となっています。
この問題では、yの定義域あるいは対象領域が決まっていないので、
命題とは言えない、ということでしょうか。

http://www.rimath.saitama-u.ac.jp/lab.jp/fsakai/logic.html

これに関連して、命題関数という言葉が出てきました。
厳密には命題関数は、命題とはいえない、となっています。高校では出てこない様ですね。

http://www.meix-net.or.jp/~aotsuka/DIC/meidaikansuu/d.html

というわけで、bもcも命題ではない、ということになるかと思います。大変難しいです。自信ありませんがご参考までに。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%91%BD%E9%A1%8C

回答No.7

jmh

もしかしたら、私だけ「真偽が決まる／決まらない」の意味が違うのかも。
私は、ただ素朴にｃのｙには「２－ｘ」というモノを代入？することもできると考えているのです。そうするとこの文は真です。そうでなければ（たとえばｙに２を入れた）文は偽です。
単純に考えて、ａとｂの文では、こういうことができないですよね。
これが間違いなんですか？

回答No.6

sanori

こんばんは。３度目の登場でーす。（くどぉ～っていう声が聞こえてきそう）

ｃは命題でないという意見もあったので、私も頭の隅でずーっと何となく考えてましたが、やっぱり命題ですね。確信しました。

ｂも「今日」というのが、どこの地区の何日ということが自明であれば命題ですね。（ふつう、今日は天気がいい、と言えば、その人達がいる地区の、その日の日中の包括的な天気状態のことですよね）
「いい」という表現も、ちゃんと、どれぐらいからどれぐらいまでの天候状態のことを指すのか定義されているか、または、暗黙の了解でニュアンスが自明であればＯＫですね。

ａは、ひとつ前の回答の通りです。

まー多少の前提付き（屁理屈？）ですが、ａ～ｃ、３つとも全部命題ですね。

おひまでしたら、ひとつ前の回答みたいに、３つとも関数で表現してみてください。

ちなみに「ｃは命題である」も命題です。ちゃんちゃん。

数学者の先生方、これで良いですよね？

では、おやすみなさい！

回答No.5

sanori

「月は地球の衛星である」を数学に書き直してみましょう。

関数ｙ＝ｆ（ｘ）
・ｘは天体の名前
・ｆ（ｘ）は、天体ｘの公転中心の名称を表す関数

式「ｙ＝ｆ（ｘ）」に「ｘ＝月」を代入します。
すると、ｙ＝ｆ（月）＝地球

これは、もとの文章を数学的に見かけ上、書き換えただけです。
したがって、もとの文章も立派に「命題」だということになります。

わたしは、数学者ではありません。（この回答に自信はありますが）
ご専門の方から反論があれば、どうかお願いいたします。

ほかの２題の説明は、この際、省きます。くどいので。

回答No.4

jmh

定義がハッキリしないというのは、今日とかいい天気だけでなく、月、衛星や、＋、２にさえもいえると思うんです。
全然覚えてない（というよりちゃんと勉強しなかった）のですが、ｃみたいのを述語、ｃのｘを束縛変数、ｙを自由変数といったような気がします。
そこで google に
　命題　述語　束縛変数　自由変数
と入力して［I'm Feeling Lucky］を押してみました。

参考URL：

http://www.google.co.jp/search?&btnI&q=命題　述語　束縛変数　自由変数

回答No.3

jmh

ａ．命題、真（証明：地球のまわりを回っているから）。
ｂ．命題、偽（雨だから）。
ｃ．命題ではない。しかし、∃ｙ∀ｘ：ｘ＋ｙ＝２は命題です。命題には、変数が現れてはいけないと思います。

お礼

他の方とbとcの考えが違いますね。
う～ん、一体どっちなんだろう？
回答ありがとうございました。

回答No.2

fushigichan

secret-gooさん、こんにちは。
＞ある表現が命題かどうかを示すには？

ということですが、命題とは、真か偽かがはっきり決まっている主張のことです。

http://www.rinku.zaq.ne.jp/suda/incomplete/chap01.html

＞a.月は地球の衛星である。

これについては、secret-gooさんのお考えのとおりで
＞aは命題、この命題は真なので、真理値は1

で正解だと思います。月は地球の衛星ですよね。

＞b.今日は天気がいい。

これについても、secret-gooさんのお考えのとおりで
＞bで天気というのは、晴れ・曇り・雨などいろいろあり、単にいい悪いとはいえないので、命題ではない？

ということですが、天気が「いい」ということの定義ができないので
（曇りの場合は、天気がいいのか、悪いのか。曇りだったとしても
雲が上空の何パーセントを占めていたら晴れなのか、悪いと言えるのか。
そのへんがあいまいなので）なので、命題ではない、と思います。

＞c.任意のxについてx＋y＝2である。

これは、なんだか変だな？とお感じになったようですが
反例を出せばいいと思います。
例えば、y=2
を持ってくると

任意のxについて、x+2=2
が成り立つか？というと、x+2=2からx=0となってしまうので
任意のxでは成り立たないです。
よって、これは偽ということになります。
真偽がつくので、命題です。

参考URL：

http://www.rinku.zaq.ne.jp/suda/incomplete/chap01.html

お礼

回答ありがとうございました。