積分が分かりません。

質問

(1/x+1/(d-x))dx

をご教授頂けないでしょうか？

回答No.1

spring135 · ベストアンサー

∫(1/x+1/(d-x))dx

=∫(1/x-1/(x-d))dx

=ln(x)-ln(x-d)+C

=ln[x/(x-d))]+C

お礼

ありがとうございました。

回答No.5

alice_44

A No.2 なら、高校の教科書に騙されているだけですが、
A No.4 までいくと、さすがに的外れです。

A No.1 の解は、x=0, x=d を除く全複素平面上で正しい解となります。
A No.2 の解は、x=0, x=d で区切られた 3 個の実開区間のうち、
どれか 1 個上でしか正しい解となりません。だから、
＞ この不定積分を定積分に適用するさいは、被積分関数の未定義点
＞（極）をまたいだ積分範囲を設定する事は出来ない
ようなことが起こるのです。

1/x + 1/(d-x) の原始関数であるべきものが、微分不能ではオカシイ。
log｜x｜ は、x = 0 に限らず、全複素平面上で微分不能である
…ことも、よく考えてみる必要があります。

お礼

ありがとうございました。

回答No.4

info22_

#2です。

A#3は的外れ！

被積分関数の分母にx,x-dがあるため
x≠0,x≠d　以外の実数xで被積分関数が定義され
x=0,x=dで関数の連続を考えるのはナンセンスです。

f(x)=1/x -1/(x-d) (x≠0,≠d)
不連続点（未定義点）を除いた区間では連続関数なので
A#1の回答ではx>0,x>dでの区間以外で被積分関数が定義されているにも関わらす
積分結果が求められていない。

積分結果の原始関数について

A#1の原始関数の　log(x/(x-d))は　x(x-d)>0の区間でしか定義されないので、
x(x-d)<0の区間で被積分関数が定義されているにもかかわらず、この区間での原始関数を表していない。

一方、A#2の原始関数　log|x/(x-d)|　は　秘跡分関数のxの変域である
x(x-d)>0の区間およびx(x-d)<0の区間で正しい結果を表している。
ただこの不定積分を定積分に適用するさいは、被積分関数の未定義点（極）をまたいだ積分範囲を設定する事は出来ないことは言うまでもない。

添付図にd>0(d=2)の場合の被積分関数(水色実線のグラフ(1))と
A#1の原始関数　log(x/(x-d)) (黒実線のグラフ)　…(2)
A#2の原始関数　log|x/(x-d)| (青実線および黒実線のグラフ）(3)
を描いて示しました。

(2)と(3)はxの範囲 x(x-d)>0では一致します。
(2)はxの範囲 x(x-d)<0ではlog　が定義できませんので被積分関数が定義されているにも
かかわらず、原始関数が存在しない（未定義）。
一方、(3)ではxの範囲 x(x-d)<0でも原始関数
　log|x/(x-d)|=log(x/(d-x))
がちゃんと定義できています。

注)d>0とした場合
A#2の積分は
　x<0またはx>dで不定積分はlog(x/(x-d))+C
0<x<dで不定積分はlog(x/(d-x))+C
となります。
A#1の積分は
　x<0またはx>dで不定積分はlog(x/(x-d))+C
となります。他のxの範囲では未定義となります。解としては不十分かと思います。

お礼

ありがとうございました。

回答No.3

alice_44

A No.1 が正しい。
∫dx/x は、log｜x｜ ではありません。
log(x)+C の積分定数が πi ズレると
= log(-x)+(C-πi) となりますから、
不定積分を log(±x)+C と書いても
間違いではありませんが、
それを log｜x｜+C と書くことはできません。
不定積分なら、微分可能なはずですが、
｜x｜ が微分可能でないために、
log｜x｜ は微分可能でないのです。
x = 0 に限らず、全複素平面上で、
｜x｜ は微分不能です。

お礼

ありがとうございました。

回答No.2

info22_

∫{(1/x +1/(d-x)}dx (x≠0,d)
=∫{(1/x -1/(x-d)}dx
=log|x|-log|x-d|+C
=log|x/(x-d)|+C

お礼

ありがとうございました。