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六角形の面積
1辺の長さが1の立方体ABCD-EFGHで、 辺EF,FG,GH,HE,の中点をそれぞれK,L,M,Nとする。 このとき、三角形FKLを底面とし点Dを頂点とする三角錐と、 三角形HMNを底面とし点Bを頂点とする三角錐とが重なり合う部分の図形をVとする。 また、辺AE,BF,CG,DH上に、それぞれP,Q,R,Sを AP=BQ=CR=DS=t を満たすようにとり、4点P,Q,R,Sを通る平面をXとする。 このとき、平面XによるVの断面が六角形になるとき、その面積を求めよ。 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 問題は以上です。 Vの形や、断面が六角形になる時のtの範囲はわかったのですが、どうすれば面積にもっていくことが出来るのかがわかりません。 どなたかお助けください。
- humihiro2003
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- 数学・算数
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問題の内容からおそらく高校の数学II-ベクトルの問題と思われるので,その前提で回答します。違っていたらすみません。 「XY~~」を,点XからYへ向かうベクトル(本来なら「XY」の上に矢印を書く)とします。 私は,AB~~をx軸,AD~~をy軸,AE~~をz軸にとって考えました。 まず,以下の点を求めます。 「直線BNと直線DKとの交点」「直線BMと直線DLとの交点」 「直線DFと平面BMNとの交点」「直線BHと平面DKLとの交点」 「直線BHと直線DFとの交点」 この時平面Xは,XY平面に平行でZ=tの点を通る平面です(これが重要!)ので,上で求めた座標を用いて,立体Vと平面Zが交わって作る直線を求めていき,それによって面積を求められます。 この際,次のことを利用するとよいかと思います。 「三点X,Y,Zを通る平面上の点Wは,αおよびβを実数として W=OX~~+α・XY~~+β・YZ~~ と表される。」 自分でも具体的な計算はしませんでしたが,これでいけるかと思います。
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- kony0
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とりあえず、平面XとDF,DK,DL,BH,BM,BNの交点をF',K',L',H',M',N'とでもおいて、 平面X上で、Pを原点、PQをx軸、PSをy軸とする座標平面でも考えて、 ぐりぐりと計算で押しちゃうという手もあります。 六角形のできかたは、正方形から直角二等辺三角形を2つ落とした形なので、なんとでも計算できると思います。 ただし、座標求めたりするのは計算しんどいのでしてません^^;
お礼
ご回答ありがとうございました。
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ご回答ありがとうございました。