物理学の質問：衝突後の速さ、弾性衝突、位置の最大値、角運動量の保存、等速円運動

質問

• 物理学の質問です。摩擦のない机の上で、質量m1の粒子1が速さv1で、質量m2の静止している粒子2に衝突した際、衝突後の粒子1と粒子2の速さを求めます。
• 完全弾性衝突の条件において、衝突後の粒子の角度θとΦの関係を求めます。
• 与えられた式x(t)に基づいて、位置x(t)が最大値をとる時刻t1を求めます。

回答No.4

Quarks · ベストアンサー

>>tがこの間の値の場合は
>>a1>0,a2<0 かつ|a1|<|a2|なので
>これはどういうことでしょうか？
>xが負にならないために、a1>0,a2<0だと思いましたが、|a1|,|a2|では負になるからわからないです。

この後で、対数表現することを想定していました。対数表現するためには、真数条件（真数>=0)を考慮しておかないとまずいわけで、そのために、各文字式の値の正負をチェックしているわけです。

a1/a2=(e^a2t)/(e^a1t)=e^((a2-a1)t)
ここから、無造作に
log(a1/a2)=(a2-a1)t
としてしまうと
t=log(a1/a2)/(a2-a1)
となってしまいます。　a2<a1ですから、t<0となってしまい、おかしな結論になってしまうのです。
真数条件をないがしろにしたからです。

絶対値は必ず０以上であることが保証されていますから、絶対値を用いて真数を表現しておけば、正しい結果をもたらしてくれます。
a1>0,a2<0　ですから　a1/a2<0ですね。　これを絶対値で表現し直すと
a1/a2=-(|a1/a2|)
また、-e^((a2-a1)t)=e^{-((a2-a1)t)}=e^(a1-a2)t
∴|a1/a2|=e^(a1-a2)t
という式を導けるわけです。左辺は絶対値になっているので、０以上の数値ですから、両辺の対数をとる際、真数条件を自然に満たしていますから何も問題は起こらないのです。

|a1|<|a2|のほうですが
|a1|<|a2|であることは、a1,a2の具体的な式（-mk＋√(…)と-mk-√(…)）を見較べれば、明らかですね。
a1>0　なので　e^a1＝e^|a1|>0
a2<0　ですから　e^a2=e^(-|a2|)=1/e^|a2|>0
|a1|<|a2|のとき
e^|a1|>1/e^|a2|
が成り立ちますから、
e^a1t>e^a2t
が言えることになります。

-------追記について------
>合力は、Ａ→Ｃの方向で
>(μ0I^2/2πｒ)・(√2)＋(μ0I^2/2π(ｒ・√2)
>＝(μ0I^2/2πｒ){(√2)＋(1/√2)}
>＝(μ0I^2/2πｒ)(3/√2)
>とおっしゃっていました。当時は頭で計算していたため、変な理解をしてしまいました。(r・√2)は対角方向の長さで、(>√2)は何を示している？

最初の式の第１項　(μ0I^2/2πｒ)・(√2)　の√2でしょうか。

横方向の力（BからAに及ぼされる力）　μ0I^2/2πｒ　と、縦方向の力（DからAに及ぼされる力で、これも大きさは）μ0I^2/2πｒ　との　ベクトル和　（斜め方向で、各力の√2倍　の大きさ）
ですから　√2　を掛けています。　このベクトル和は、CからAに加わる力と同じ方向ですから、合力は
A→Cの方向で、大きさが　(μ0I^2/2πｒ)・(√2)＋(μ0I^2/2π(ｒ・√2)
となるわけです。

お礼

なるほど。
とても丁寧に教えていただきありがとうございました。

ちなみに、追記についてですが、
x，y方向別に力を分けて、F＝√(Fx^2+Fy^2)ではだめですか？一応、答えは一致しているのですが・・・。
式は
Fx＝μ0I^2/2πa+(μ0I^2/2π√2a)cos45°(1/√2)
Fy＝μ0I^2/2πa+(μ0I^2/2π√2a)sin45°(1/√2)
より、
F＝√(Fx^2+Fy^2)
=3μ0I^2/2√2πa
です。