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積分の問題

(1)∫dx/{e^x(e^x+2)} (2) ∫dx/(e^x+1) (3) ∫dx/(e^x-e^(-x)) それぞれの解く過程と答えを教えてください。 (3)の答えはarctanh(e^x)+C になったんですが合ってますかね

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  • info22_
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回答No.1

(1) I=∫dx/{e^x(e^x+2)}=(1/2)∫{1/e^x-1/(e^x+2)}dx =(1/2)∫e^(-x)dx-(1/2)∫dx/(e^x+2) =-(1/2)e^(-x)-(1/2)I1 I1=∫dx/(e^x+2) この積分は y=e^x(>0)とおいて置換積分すればいいでしょう。 (2) ∫dx/(e^x+1) これはy=e^x(>0)とおいて置換積分すればいいでしょう。 (3) ∫dx/(e^x-e^(-x))=I y=e^x(>0)とおいて置換積分すればいいでしょう。 dy=ydx → dx=dy/y I=∫dy/{y(y+(1/y))}=∫dy/(y^2+1)=arctan(y)+C 後は元の変数に戻せばいいでしょう。

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