微分による接線の傾き、加速度、角度について

質問

放物線を考え、点が次の点へと移動した時の加速度、方向（角度）を求めようとした時に、角度はtan-1(ｙの増加量÷ｘの増加量)で求められ、加速度の場合は、点を微分すると接線の傾きが求められ、これは速度なのでもう一度微分すると加速度になるという考えで合っていますでしょうか？

ご教授お願いします。
また、今放物線ではなく円の点の移動での方向、加速度についても考えています。
教えていただきたいです。

回答No.3

Mr_Holland · ベストアンサー

時刻tにおける点の座標を(x(t),y(t))としますと、次のようになります。

速　度：　(dx(t)/dt, dy(t)/dt)
加速度：　(d^2 x(t)/(dt)^2), d^2 y(t)/(dt)^2)
速　度の方向：　arctan[{dy(t)/dt}/{dx(t)/dt}] = arctan{dy(t)/dx(t)]
加速度の方向：　arctan[{d^2 y(t)/(dt)^2}/(d^2 x(t)/(dt)^2}]

＞加速度の場合は、点を微分すると接線の傾きが求められ、これは速度なのでもう一度微分すると加速度になるという考えで合っていますでしょうか？

　y(t)をx(t)で微分すれば接線の傾きが求められますが、これは速度ではありません。
　速度は、変位(x(t),y(t))のそれぞれの成分を時刻tで微分したものです。
　速度のそれぞれの成分を時刻tで微分すれば加速度になります。

　質問文を拝見していますと、何で微分するか（xで微分するかtで微分するか）という点を分けずに考えておられますように思われます。この点が重要ですので、いま一度整理されるとよいと思います。
　以上のことは、放物線や円に限定されず、どんな軌道（曲線）でも当てはまることです。
　よろしければ参考にしてください。

お礼

お礼が遅れてしまってすいませんでした。
もう一度与えられた要素について整理しなおした所、理解することができました。
適切なアドバイスをありがとうございます。

回答No.2

htms42

何をしようとされているのかがよく分かりません。
「放物線上を点が移動している」、「円周上を点が移動している」というだけでは加速度は決まりません。

円運動だから等速円運動であるとは言えないのです。
円周状のトラックを人が走っている場合を考えれば分かります。
走り方はいろいろです。

糸の端におもりを付けて一端を固定します。
水平面内で回転させるか、鉛直面内で回転させるかで速度、加速度は変わってきます。どちらも円運動です。

力学的な運動の結果としての放物線、円を考えておられるのであれば力についての情報が必要です。
運動方程式は力、加速度の関係を表しています。
式を解くということは時間の関数としての位置、速度を求めるということです。
逆にたどるとした場合、時間の関数としての位置の情報、または速度の情報が必要です。
時間の情報の含まれていない軌跡だけが与えられても、速度、加速度は分かりません。
（「接線の傾き」という言葉を使っておられるので微分は軌跡上の位置について行っているものと思います。）
速度、加速度は時間についての微分から得られる量です。

変数の考え方に混乱、または誤解があるのではないでしょうか。

お礼

お礼が遅れてしまってすいませんでした。
頭のなかで変数が混乱しており、誤認がありました。
もう一度整理したところ理解することができました。
アドバイスありがとうございます。

回答No.1

info22_

>放物線を考え
放物線運動を考え
ですね。

ある時刻tにおける点の位置(x,y)における運動の方向は　tan^-1(dy/dx)
加速度(a_x,a_y)は(dv_x/dt,dv_y)=(d^2 x/dt^2,d^2 y/dt^2) です。

通常の落下運動（放物線運動）ではv_x=v_0x, v_y=v_0y-gtなので
加速度(a_x,a_y)=(dv_x/dt,dv_y)=(0,-g)(gは重力加速度）
となります。

>また、今放物線ではなく円の点の移動での方向、加速度についても考えています。
点の等速円運動ですね。
円運動の方程式を
x^2+y^2=r^2　…(1) (r>0は円運動の半径で一定)
x=rcos(wt),y=rsin(wt) …(2) (w>0は角速度で一定）
とすれば、位置(x,y)の点の移動の方向は

(1)をxで微分して　2x+2ydy/dx=0 ∴dy/dx=-x/y
tan^-1(dy/dx)=-tan^-1(x/y)
これは点の半径の方向tan^-1(y/x)と直角（つまり円の接線）方向ですね。

速度(v_x,v_y)=(dx/dt,dy/dt)=(-rw*sin(wt),rw*cos(wt))=w(-y,x)
これは接線方向の速度です。

さらに
加速度(a_x,a_y)=(dv_x/dt,dv_y/dt)=(-rw^2*cos(wt),-rw^2*sin(wt))=-w^2(x,y)
これは半径方向の円運動の中心に向かう向心力の加速度になっています。

お礼

お礼が遅れてしまってすいませんでした。
数式を用いた丁寧な解説ありがとうございます。
１から整理することができ、理解することができました。
アドバイスありがとうございます。