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積分
受験生です ∫√(x^2-4)dx ルート(Xの二乗)-4 の積分がわかりません。 答えまででなくとも、やり方だけでも大丈夫です どうかよろしくお願いします
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- nag0720
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#2です。 x=2/cost としたのは、 #3さんの回答の、y=√(x^2-4) と y=2tanθ を合わせたものです。 2tanθ=√(x^2-4) x^2=(2tanθ)^2+4=4/cos^2θ x=2/cosθ それより、#2の回答が間違ってました。 (sint/cos^2t)'=1/cost+sin^2t/cos^3t でした。 1/cost の積分は、 1/cost=cost/cos^2t=cost/(1-sin^2t)=(1/2){cost/(1+sint)+cost/(1-sint)} より、 ∫(1/cost)dt=(1/2){log(1+sint)-log(1-sint)} となります。
- info22_
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∫√(x^2-4)dx=∫(x^2-4)/√(x^2-4)dx =∫(x^2-2-2)/√(x^2-4)dx =∫(x^2-2)/√(x^2-4)dx -∫2/√(x^2-4)dx =I1 + I2 ここで {x√(x^2-4)}'=√(x^2-4) +(x^2)/√(x^2-4)=2(x^2-2)/√(x^2-2) I1=∫(x^2-2)/√(x^2-4)dx =(1/2)x√(x^2-4)+C1 {log|x+√(x^2-4)|}'={1+x/√(x^2-4)}/{x+√(x^2-4)}=1/√(x^2-4) I2=-∫2/√(x^2-4)dx =-2log|x+√(x^2-4)|+C2 ∴I=I1+I2=(1/2)x√(x^2-4) -2log|x+√(x^2-4)|+C (C=C1+C2,積分定数)
- alice_44
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y = √(x^2-4) と置いてみましょう。 dy/dx = {(1/2)(x^2-4)^(^1/2)}(2x) = x/y より、 ∫√(x^2-4)dx = ∫y dx = ∫x dy = ∫±√(y^2+4)dy です。 最右辺の積分が y = 2 tanθ で置換積分できることは、 有名な公式かと思います。
- nag0720
- ベストアンサー率58% (1093/1860)
x=2/cost とおくと、 dx=2sint/cos^2t dt ∫√(x^2-4)dx =∫√((2/cost)^2-4)2sint/cos^2t dt =4∫(sin^2t/cos^3t)dt あとは、 (sint/cos^2t)'=1/cos^2t+sin^2t/cos^3t を利用して部分積分を適用すれば解けるはずです。
お礼
なるほど… たしかにできそうです。それにしても、最初の一歩の置換のひらめきがハイレベルですね… (((;゜;Д;゜;)))
初等関数の範囲では積分不能です。
お礼
ありがとうございます。 初等関数について調べてみましたが、この場合も初等関数に当て嵌まるのかイマイチわからないのでもうしばらく考えてみます。
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