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高校物理 第一宇宙速度とケプラーの法則
htms42の回答
- htms42
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微分の知識は必要ですが座標変換だけで出てきます。 解析力学の枠組みでしか出来ないとなるとハードルが高いですね。 簡単のために２次元の極座標でやってみます。 （ｘ、ｙ）⇔（ｒ、θ）の変換は出てきているのではないでしょうか。 回転運動ですから極座標が便利なのです。 ｘ＝ｒｃｏｓθ ｙ＝ｒｓｉｎθ Ｖｘ＝ｄｘ／ｄｔ＝ｄｒ／ｄｔｃｏｓθ－ｒｄθ／ｄｔｓｉｎθ Ｖｙ＝ｄｙ／ｄｔ＝ｄｒ／ｄｔｓｉｎθ＋ｒｄθ／ｄｔｃｏｓθ Ｖｘ^2＋Ｖｙ^2＝(ｄｒ／ｄｔ)^2＋(ｒｄθ／ｄｔ)^2 これより、 Ｖr＝ｄｒ／ｄｔ Ｖθ＝ｒｄθ／ｄｔ Ａｘ＝ｄＶｘ／ｄｔ Ａｙ＝ｄＶｙ／ｄｔ を計算すると Ａr＝ｄ^2ｒ／ｄｔ^2－ｒ(ｄθ／ｄｔ)^2 Ａθ＝２(ｄｒ／ｄｔ)(ｄθ／ｄｔ)＋ｒｄ^2θ／ｄｔ^2 運動方程式は Ｆr＝ＭＡr Ｆθ＝ＭＡθ Ｆがｒに平行であればＦθ＝０です。したがってＡθ＝０です。 ２(ｄｒ／ｄｔ)(ｄθ／ｄｔ)＋ｒｄ^2θ／ｄｔ^2＝０ ｒをかけます。 ２ｒ(ｄｒ／ｄｔ)(ｄθ／ｄｔ)＋ｒ^2ｄ^2θ／ｄｔ^2 ＝(ｄｒ^2／ｄｔ)(ｄθ／ｄｔ)＋ｒ^2ｄ^2θ／ｄｔ^2 ＝(ｄ／ｄｔ)(ｒ^2ｄθ／ｄｔ)＝０ ∴（ｒ^2)ω＝一定・・・・・（ω＝ｄθ／ｄｔ） これを ｒ(ｒω)/2＝一定 と書くと面積速度一定の表現になります。 ３次元の極座標 ｘ＝ｒｓｉｎθｃｏｓφ ｙ＝ｒｓｉｎθｓｉｎφ ｚ＝ｒｃｏｓθ でも同じ結果が出てきます。
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