絶対値の関数について質問です！

質問

はじめての質問です。お願いします！

問．次の関数ｆ（ｘ）の最小値とそのときのｘの値をもとめよ。

ｆ（ｘ）＝|２ｘ＋１|＋|ｘ－１|＋２|ｘ－a| ただしaは正の定数とする。

答えは（途中少し省略しています）

（A）1≦aのとき

（a）a≦ｘのとき　ｘ＝aで最小値３a　
（ｂ）１≦ｘ＜aのとき　ｘ＝１で最小値２a＋１
（ｃ）－１／２≦ｘ＜１のとき　ｘ＝－１／２で最小値５／２＋２a
（ｄ）ｘ＜１／２のとき　なし　

（a）（b）（c）（d）より1≦aのとき最小値２a＋１

（Ｂ）０＜a＜１のとき

（e）ｘ≧１のとき　最小値３a
（f）a≦ｘ＜１　のとき　ｘ＝aで最小値a＋２
（g）－１／２≦ｘ＜aのとき　なし
（h）ｘ＜１／２のとき　なし

（e）（f）（g）（h）より０＜a＜１のとき最小値a＋２

解答はここまでですがここで二つ質問です。
（１）（a）（b）（c）（d）より1≦aのとき最小値２a＋１　とありますが（a）（b）（c）（d）をまとめずにそれぞれで最小値として答えとすることはいけないのでしょうか？

（２）例として

問．ax=0を解け　

という問題ならa=0のときとa≠０のときのようにaで場合分けをします。しかし今回の僕の質問した問題の場合は上の解答のようにaで場合わけをすることでもできますがｘで場合分けをして答えをだすこともできるとおもうのですがどうでしょうか？ですがそうするとこたえが全然違ってしまいます。

質問は二つです。お願いします。

回答No.1

B-juggler · ベストアンサー

こんにちは。

絶対値のついた式はどうしてもこういった疑問が生まれますね。

｜ｘ－ａ｜　を見てみましょう。

ｘ－ａ　≧０　のときは　そのまま　｜ｘ－ａ｜＝ｘ－ａ　と出来ますね。

逆に　ｘ－ａ＜０　のときは　｜ｘ－ａ｜＝　－ｘ＋ａ　となりますね。

この性質によるので、ご質問の場合わけは、必要です。

（Ａの場合では　ｘ＝１　のときですね）。

絶対値の括弧、このはずし方が変わってきますね。　なので

ａによって関数が変わる　（？）言い方はおかしいですが、そういう風に捉えてもらったほうがいいですよ。

もう１つのほうですが、定数がａとしてありますから、関数はｘを変数としますね。

ａは変数ではないですよね。　としたら、変数ｘで場合わけは？？　となりませんか？

ａｘ＝０　ここで、ｘ＝０　もしくは　ｘ≠０　として　求まるのは　ａの解ですよね。

解が求まるほうが変数だっていうのは知ってあるかと思います。

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

お礼

ありがとうございました！わかりました。　　

丁寧な解説ありがとうございました。