- ベストアンサー
内接円・接弦定理の証明
- みんなの回答 （4）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
接弦定理より 接線TT'と弦APのなす角∠APTと弧AP上の円周角∠PCAは等しいので ∠APT=∠PCA---(1) 同じように接線TT'と弦PBのなす角∠BPT'と弧PB上の円周角∠PDBは等しいので ∠BPT'=∠PDB---(2) また ∠APT=∠BPT'(対頂角)---(3) よって(1)(2)(3)より ∠PCA=∠PDB これは線分ACとBDの錯角になるので ACとBDは平行になります
その他の回答 (3)
- puusannya
- ベストアンサー率41% (59/142)
接弦定理より ∠ＴＰＡ＝∠ＡＣＰ・・・(1)、 ∠ＴＰＤ＝∠ＰＢＤ・・・(2) ∠ＴＰＡ＋∠ＴＰＤ＋∠ＡＰＣ＝１８０°（ＣＤは直線だから）・・・・(3) △ＡＣＰで ∠ＡＣＰ＋∠ＣＰＡ＋∠ＰＡＣ＝１８０° (1)の関係より ∠ＴＰＡ＋∠ＣＰＡ＋∠ＰＡＣ＝１８０°・・・(4) (3)(4)より ∠ＴＰＤ＝∠ＰＡＣ・・・(5) (2)(5)より ∠ＰＡＣ＝∠ＰＢＤ 弦ＡＣと弦ＤＢで、錯角が等しいので、ＡＣ//ＢＤ
- nag0720
- ベストアンサー率58% (1093/1860)
接弦定理を調べてみましょう。
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
それぞれの円の中心を考えればいいんじゃないかなぁ.
関連するQ&A
- 円に内接する四角形の証明
問）四角形ABCDにおいて、角A＋角Cならば、この四角形は円に内接することを証明せよ。 という定理の証明なのですが、 解答が、 角C’をA、B、Dを通る円に設け、それは円に内接するので、 角A＋角BC’D＝１８０° 仮定より角A＋角C＝１８０°なので CはC’と一致する という流れで証明しているのですが、 「円に内接するので和が１８０°」 という定理を前提に話しているので、証明になってない気がするのですが・・・。 この証明はアリなのでしょうか？ もう少し深く理解したいです。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 方べきの定理の証明その２
方べきの定理 点Ｐを通る２つの直線が、１つは円Ｏと点Ａ，Ｂで交わり、他の１つは点Ｃ，Ｄで交わるとき PA・PB=PC・PD の証明はできました。 しかし、ＡとＢが一致した場合の定理 点Ｐから円Ｏに２点Ｃ，Ｄで交わる直線ＰＣと接線ＰＡを引けば PA^2 = PC・PD の証明ができません。 どのように証明すればよいのでしょうか？ よろしくお願いします
- ベストアンサー
- 数学・算数
- シムソンの定理の証明
シムソンの定理の証明 ホームページ http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/ptolemaios/simson.htm の作成者に質問したかったのですが適当な所がみつからなかったのでここで質問します。 シムソンの定理 △ABCの外接円周上の点Pから BC、CA、AB に下ろした垂線の足を D、E、F とする。 このとき、3点 D、E、F は1直線上にある。 この直線のことを、シムソン線という。 (証明)4点 P、F、A、E は、同一円周上にあるので、∠PFE＝∠PAE … と左図と一緒に書かれていましたが、 左図では確かに ∠PFE＝∠PAE ですが 右図では4点 P、F、A、が 、同一円周上にあるにもかかわらず ∠PFE≠∠PAE となってしまい、この証明は誤りなのではないでしょうか? シムソンの定理は、 「A,B,C,P,が同一円周上の点で D,E,F が P から BC,CA,AB への垂点」 という条件で P,A,B,C の位置に関係なく成立することを 証明しなければ、証明とはいえないのではないでしょうか? 以下の証明の方がよいのではないでしょうか? △ABCの外接円周上の点Pから BC、CA、AB に下ろした垂線の足を D、E、F とする。 外接円の中心に 0 を対応させ 点 P に 1 を対応させて 外接円を単位円とする座標をいれて 点 A,B,C,D,E,F のそれぞれの位置の複素数を a,b,c,d,e,f とすると |a|=|b|=|c|=1 となるから 2d=b+c-bc+1 2e=c+a-ca+1 2f=a+b-ab+1 x~=(xの共役複素数) とすると 4((e-d)(f~-d~)-(e~-d~)(f-d)) =((a~b-ab~)(|c|^2-1)+(b~c-bc~)(|a|^2-1)+(ac~-ca~)(|b|^2-1) +a(|c|^2-|b|^2)+b(|a|^2-|c|^2)+c(|b|^2-|a|^2) +a~(|b|^2-|c|^2)+b~(|c|^2-|a|^2)+c~(|a|^2-|b|^2)) |a|=|b|=|c|=1 だから (e-d)(f~-d~)-(e~-d~)(f-d)=0 e-d と f-d の向きが等しいから 3点D,E,Fは1つの直線上にある
- 締切済み
- 数学・算数
- 証明(数Ａ)
いつもお世話になってます。数Ａからの証明の問題です。画像をご覧下さい。この図について、 「点Pで外接する二つの円がある。Pを通る2本の直線引き、図の如く二つの円とそれぞれA、BおよびC、Dで交わる時、AC//BDであることを証明しろ」という問題です。 一応やってみました。不足している点などありましたら、ご指摘下さい 証明 対頂角の性質より、∠APC=∠DPB…a 接点Aを通る二つの円の共通接線lを描くと(この接線の上端をl'、下端をlとした)、接弦定理より、∠l'PA=∠PCA=∠lPB=∠PDB…b a、bより、△APCと△PBDの間で2角が等しいから、△PAC∽△PBDが成り立つ。 よってAC//BD fine アドバイスお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- トレミーの定理について
トレミーの定理とは、 四角形ABCDが円に内接すれば、 AB*CD+AD*BC=AC*BD が成り立つ。 というものです。 これは、逆、つまり 四角形ABCDにおいて、AB*CD+AD*BC=AC*BDが、 成り立てば、四角形ABCDは円に内接する。 も成り立つと思いますが、これの証明を教えて頂けませんか。 四角形の内部に点Eをとり、三角形の相似と方べきの定理を利用しようと思ったのですが・・ 上手くいきませんでした(>_<)
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 二等分線定理の余弦定理による証明
三角形ＡＢＣにおいて、角Ａの二等分線を引き、ＢＣとの交点をＤとします。ＡＢ＝a、ＡＣ＝ｂ、ＢＤ＝ｃ、ＣＤ＝ｄとすると、a:b＝c:dとなります。俗に二等分線定理と呼ばれるものですが、これを余弦定理によって証明する方法を教えていただけますでしょうか。 証明法は数ほどありますが、余弦定理を使ったやり方がわかりません。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- パスカルの定理 証明
円周上の6点を、A1,A2,A3,B1,B2,B3 とすると、直線A1B2,A2B1の交点P,直線A1B3,A3B1の交点Q,直線A2B3,A3B2の交点Rとして、P,Q,Rは一直線上にある。 これをパスカルの定理というそうです。 この定理を「円に内接する四辺形ABCDの辺AB,BC,CD,DAまたはその延長と1直線との交点をP,Q,R,Sとすると、PQ・PS：RQ・RS＝PA・PB：RC・RDである。」を用いて、証明するとき以下がわかりません。 直線A2B2,A1B3,A3B1と直線PRとの交点をO,X,Yとする。（添付画像参照）直線PRが四辺形A1B2A2B3を切るからPO・PX：RO・RX＝PA1・PB2：RA2・RB3 円に内接する四辺形ABCD・・・を使おうとしても、PQ・PSとPO・PXは点の位置が違うので、使えない思うし。メネラウスの定理は、三角形を直線が切るときに使うもので、四辺形を切るときには使えないと思いました。本の図（添付画像）でも四辺形を切っていないと思います。 どなたか、PO・PX：RO・RX＝PA1・PB2：RA2・RB3を、教えてくださいお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
回答ありがとうございました。 接弦定理という言葉を初めて知って、全く分からなかったのですが分かりました。