お願いします

質問

xy平面上に円C:x^2+y^2=1と楕円E:x^2+(y^2)/2=1があり、
円C上の点P(s,t)(t＞0)における円Cの接線をlとする。
Eがlから切りとる線分の長さをLとしたとき、
Lをtを用いて表せ。

という問題です。
解説お願いします。

回答No.3

nag0720

接線lの式は、
y=(-s/t)(x-s)+t=(1-sx)/t

これを楕円の式に代入すれば、
x^2+(1-sx)^2/(2t^2)=1
(1+t^2)x^2-2sx+1-2t^2=0

接線lの式をx=にして、楕円の式に代入すれば、
x=(1-ty)/s
(1-ty)^2/s^2+y^2/2=1
(1+t^2)y^2-4ty+2t^2=0

接線lと楕円の交点を(x1,y1),(x2,y2)とすると、二次方程式の解と係数の関係から、
x1+x2=2s/(1+t^2)
x1*x2=(1-2t^2)/(1+t^2)
y1+y2=4t/(1+t^2)
y1*y2=2t^2/(1+t^2)

L=√{(x1-x2)^2+(y1-y2)^2}
=√{(x1+x2)^2-4x1*x2+(y1+y2)^2-4y1*y2}
=√{(2s/(1+t^2))^2-4(1-2t^2)/(1+t^2)+(4t/(1+t^2))^2-8t^2/(1+t^2)}
=1/(1+t^2) * √{(4s^2-4(1-2t^2)(1+t^2)+16t^2-8t^2(1+t^2)}
=2t/(1+t^2)

お礼

ありがとうございます(*^o^*)

回答No.2

mister_moonlight

単なる計算問題。

x^2+y^2=1　の上の点をＣ(cosθ、sinθ)　0＜θ＜πとする。
この円の接線の方程式は、cosθ*x+sinθ*y＝1　‥‥(1)　sinθ≠0から　y＝(1-cosθ*x)/sinθ
これを楕円の方程式に代入すると、(1+sin＾2θ)x-2cosθ*x＋(1-2sin＾2θ)＝0.‥‥(2)
この方程式の2解が楕円との交点のx座標を与えるから、その2点をＡ、Ｂとし　各々のx座標を　α、β(α＞β)とする。
Ｌ＾2＝(ＡＢ)＾2＝(α-β)＾2＋(cos＾2θ)/(sin＾2θ)*(α-β)＾2＝(α-β)＾2/(sin＾2θ)
α-β＞0、sinθ＞0より、Ｌ＝(α-β)/(sinθ)　‥‥(3)
そこで、(α-β)＾2＝(α＋β)＾2-4αβ＝(2)の方程式の解と係数を使うと＝4(sin＾2θ)/(1＋sin＾2θ)＾2
つまり、α-β＝(2sinθ)/(1＋sin＾2θ)であるから、(3)より　Ｌ＝(α-β)/(sinθ)＝2/(1＋t＾2)

計算のチェックはしてね、計算は自信ないから。。。。。ｗ

お礼

たぶん最後だけ計算が違ってますね…
でもありがとうございました(*^o^*)

回答No.1

pajyarusuta-23

宿題は自分でしなきゃ覚えません。

補足

自分でも考えてはいるんですが,答えが出ないので質問したんです。
どうかお願いします。