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領域と最大・最小
x≧1,y≧3,9≦xy≦27のとき、z=log3(x^2)+log3(y)←底が３です の最大値を求めよう (1)s=log3(x),t=log3(y)とおくと、s≧0、t≧1,2≦s+t≦3 また z=2s+t である (2)zはs=( ),t=( )のとき最大値( )をとる (3)zはx=( ),y=( )のとき最大値( )をとる もうすぐ高３です(´；ω；｀)ウッ… (1)は分かったのですが（2）以降が分かりません… 解答またはヒントをよろしくお願いします！ 答えは s=( 2 ),t=( 1 )のとき最大値( 5 ) x=( 9 ),y=( 3 )のとき最大値( 5 )
- tamten
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- 数学・算数
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まあ「領域と最大・最小」の問題だって書いてあるんだから、領域を使うんでしょうね。 a)s≧0、t≧1,2≦s+t≦3が表す範囲をxy平面ならぬst平面に描いてみて下さい。どんな形になりますか？ b)a)で描いた領域をDとすると、s,tはDの内部の点である必要があります。 つまり、 z=2s+tをsとtの式(zはただの定数と考える)と解釈すればこれは直線の式になりますが、 この直線がDと共有部分を持っていないとだめということです。 逆にいうと、直線がDと共有部分を持っている場合、s≧0、t≧1,2≦s+t≦3を満たすs,tは少なくとも1組存在し、そのs,tを代入すればzを求めることができます。 もう一度z=2s+tの式に戻って、t=-2s+zの形に直します。普段見ているxy平面とst平面の対応を、x⇔s、y⇔tとすると、 t=-2s+zと書いた時、-2は傾きで、zは切片であることがわかります。 そうすると、この問題は最終的に次のように考えればよいことになります。 「直線t=-2s+zが領域Dと共有部分を持つように動く時、切片zの最大値を求めよ」 これがわかれば(2)はわかったことになりますね。 (2)がわかったのに(3)がわからないとは言わせませんので。 わからなければどこまで考え、どこがわからなかったかを補足に書いてください。 参考になれば幸いです。
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- mister_moonlight
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対数を媒介に使ってはいるが、置き換えれば sとtに関する典型的な線型計画法の問題。 これは最大値・最小値の問題としては極めて基本的問題。 絶対に憶えておかねばなかない手法。こんなのは、未だ易しいほうだよ。 s≧0、t≧1,2≦s+t≦3 ‥‥(1) z=2s+t ‥‥(2) とする。 先ず、(1)を st平面上に図示する。sを通常のx軸にとり、tを通常のy軸にとる。 そうすると、第1象限の4つを頂点Ａ(2、1)、Ｂ(0、3)、Ｃ(0、2)、Ｄ(1、1)とする四角形の内部と周上であることがわかる。‥‥(4) (2)は t＝-2s＋z ‥‥(5) と変形できるから、これは 傾きが -2 でt切片がzの直線。 zの最大値と最小値を求めるんだから、(4)の範囲で (5)を動かすと、最大値は Ａ(2、1)でz＝5、最小値は Ｃ(0、2)の時で z＝2.
お礼
回答ありがとうございます！ 線形計画法、あまりよく分かっていなかったのでいい機会となりました＾＾ 基本すぎますよね(；´∀｀)ごめんなさい もっと勉強しなければ…
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お礼
とても丁寧な回答、ありがとうございました！ 参考どころか、理解を深めることができました＾＾ 領域が苦手なのでもっとがんばりますね！