• ベストアンサー

定数aのn乗根の極限(n→∞)について

n√c(定数cのn乗根)  ・・・☆ はn→∞で1に収束しますか? また、その導き方も教えてください。 √の中に(aのn乗+bのn乗)が入った関数の極限(n→∞)を求める問題を解いていて、 主要項√(aのn乗)(a>bの場合)で括ったのはいいんですが、☆がどうなるのか分からず困っています。 分かりにくい文で申し訳ありませんが、数学の得意な方、よろしくお願いしますm(__)m

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • naniwacchi
  • ベストアンサー率47% (942/1970)
回答No.1

こんばんわ。 「n乗根」「n√」と表しているとわかりにくかもしれませんね。 これを「1/n乗」ととらえられれば、見やすく分かりやすくなると思います。 lim[n→∞] n√c = lim[n→∞] c^(1/n) = lim[t→0] c^t (t= 1/nとおいて) = 1 あと、定数:cについては「正の数」という条件もお忘れなく。

poodlekuro
質問者

お礼

早速のご回答ありがとうございます! 説明も非常に分かりやすく理解できてすっきりしました。 来年受験なんで頑張ります(*^o^*) ありがとうございましたm(__*)m

その他の回答 (1)

  • alice_44
  • ベストアンサー率44% (2109/4759)
回答No.2

ん? 0<b<a より 1<1+((b/a)のn乗)<2 の 各辺のn乗根をとってから n→∞ とする という流れは大丈夫なんだよね?

関連するQ&A

  • 漸化式 a(n)=定数a(n)+定数×定数^n

    漸化式より一般項を決定する問題で (A,B,C,Dは定数) a(1)の値 a(n)=Aa(n)+B×C^n が与えられたら f(n)=D×C^n a(n)+f(n+1)=A{a(n)+f(n)} が成り立つとして、Dを求め、Dの値とa(n)+f(n+1)=A{a(n)+f(n)}から a(n)を求める方法がありますよね? この方法は (A,B,C,Dは定数) a(1)の値 a(n)=Aa(n)+B×C^(n+定数) の場合にも使用できますか? この場合もこの方法で一応回答と同じ値が出たのですが そもそもこの方法の証明を見た事が無いため C^(n+定数)の場合にも適用していいのかわかりません (参考書を見てもこの方法の運用が書かれているだけで証明がどこにもありませんでした)

  • N次相加平均のN→0の極限

    a,bは正の定数です。 N→(+)0における、 {(a^N+b^N)/2}^(1/N) の極限がaとbの相乗平均√abになるときいたのですが、 その計算はどのようにするのでしょうか? 教えてください。

  • 極限です。pert2・・・・

    数列sin(^n)θの極限をもとめよただし-π/2≦θ≦π/2。 第n項が次の式で表される数列の極限を調べよ。 {r^(2n)-2^(2n+1)}/{r^(2n)+4^n} {a^(n+1)+b^(n+1)}/{a^(n)+b^(n)}      ただしa,b共に正の定数 次の無限級数の収束発散を調べなさい。 ∞ Σ2/{√(n+2)+√n} n=1 |x|<1/2のとき無限級数の和を求めよ。 1+3x+7x^2+15x^3+・・・・・+(2^(n)-1)x^(n-1)+・・・ lim[√{(1/x)+1}-√{(1/x)-1}]  の極限値を求めよ。 x→+0 x→∞のときf(x)=√(x^2 +1)-axが収束するような正の定数aの値とそのときの lim f(x)を求めよ x→∞ 以上です。おねがいします。 何度もごめんなさい。

  • 極限 an=n√n の求め方について

    lim (n→∞)an = A< +∞ならば、 lim (n→∞)(a1+a2+....+an)=Aa であるとき an = n√nの極限値を求めよ ( aに付いているnは数列の項の番号、√nについているnはn乗根の意味です) といった問題なのですが、どう手をつけていいかさっぱり解りません。 対数を使って計算する、と教わったのですが、どうやって対数をこの式に使えば良いのかわからないのです、どなたか解法や、解法のヒントをご存知の方がいましたら、回答お願いします、よろしくお願いします。

  • Σ[n=0..∞](-1)^n5^n/(2n)!の和は?

    Σ[n=0..∞](-1)^n5^n/(2n)!の収束・発散を判定し,収束ならその和を求めよ。 という問題です。 これは交項級数なので数列{5^n/(2n)!}が単調減少且つlim[n→∞]5^n/(2n)!=0より (∵比を採ると5^(n+1)/(2(n+1))!/5^n/(2n)!=2/((2n+2)(2n+1))で単調減少且つ極限値が0) Σ[n=0..∞](-1)^n5^n/(2n)!は収束。 となるのかとと思いますが和はどのように求めればいいのかわかりません。 どのようにして求めれるのでしょうか?

  • a_n=sin(nπ/3)の上極限、下極限を求めよ

    大学数学の問題です。 a_n=sin(nπ/3) の上極限、下極限を求めよ。 を、なるべく詳しく教えてください。

  • 極限値とn次関数

    いつも数学が得意な皆様に助けて頂いております。 分からない問題があります。 *以下の極限値で、極限値が存在する場合はその値、しない場合はその理由をのべよ、 1)limsin(1/x) x→0 2)limxsin(1/x) x→0 という問題があります。 2)はlim(sinx/1)=1より 1という解答で大丈夫でしょうか? 1)に関して、これは極限値が存在しないのでしょうか? しない場合の理由を数学音痴な私でも理解できるように説明して頂けると大変助かります。 もう一問質問です。 *y=(x^2-1)^nとおく。この時、(x^2-1)y^(n+2) + 2xy^(n+1) ー n(n+1)y^(n)=0を示せ。ただしy^(n)はyのn次導関数とする。 こちらの解き方を教えて下さい。(上の式ですが、A+B-C=0のような形です。スペースの前までが一つの固まりです) (どうも説明しろ、とか示せ、と言われるとどう書いていいのか分からなくなってしまいます。) 宜しくお願いいたします。

  • 1/√1+1/√2+…+1/√n-2√nの極限

    0<p<1とします。 lim[n→∞]{Σ[k=1、n])1/k^p - n^(1-p) / (1-p) } の極限値について知られてることはあるのでしょうか。 例えば、p=1/2とすると、 lim[n→∞]{Σ[k=1、n])1/√k - 2√n} の極限値について知られてることはあるのでしょうか。 p=1のときに相当する式は、 lim[n→∞]{Σ[k=1、n])1/k - log(n)} で、オイラーの定数γです。

  • 数列・関数の極限について

    俗に言う「はさみうちの原理」とその周辺に関して質問があります。 数学IIIの教科書によると, すべての自然数nに対し a_n ≦ b_n ≦ c_nのとき lim{n→∞}a_n = lim{n→∞}c_n = α(定数) ⇒ lim_{n→∞}b_n = α lim{x→∞}f(x) = lim{x→∞}h(x) = α(定数)とする。 十分大きいxに対し,f(x) ≦ g(x) ≦ h(x) ⇒ lim_{x→∞}g(x) = α となっております。 (1)limを登場させる順番がなぜ違うのか?   数列の極限の方ではまず不等式を記し,関数の極限の方ではlimから記しています。 (2)「すべての」と「十分大きい」の部分は数列の極限と関数の極限で異なるか?   数列の極限の方でも「十分大きい自然数nに対し」でもよいような気がするのですが…。 以上、よろしくお願いします。

  • 極限値の問題です。本当にお願いします。

     lim  n^a/a^n の極限値がわかりません。 n→∞ aは正の定数です。 nが限りなく∞に近づくときのaのn乗分のnのa乗の極限値がわかりません。どうか、教えてください。お願いします。