大学数学のラグランジェ未定数乗数法が分かりません

質問

楕円体(x/a)^2+(y/b)^2+(z/c)^2=1が第一象限で交わる交点ABCと原点で三角錐を切り取るとき、
その体積は楕円体と接平面P（X、Y、Z）に依存する。体積の最大値を求めその時の各交点Po,Ao,Bo,CoにおいてPoが三角形Ao,Bo,Coの重心を示せとなっているのですが、重心の証明ができません。どうか教えてください

回答No.4

loboskobay

Lagrange 未定係数法の評価関数を x,y,z,t で微分したものが 0 となることより先の三角錐の体積が最小となる楕円体上の点 x,y,z の組を求められる。具体的には下の四つの代数方程式が 0 になる x,y,z,t の解を求めねばならない。

[-3*a**6*b**2*c**4*y**4*z**2
+ 9*a**2*b**4*c**6*x**4*y**2
+ 9*a**2*b**6*c**4*x**4*z**2
+ 6*a**4*b**4*c**4*x**2*y**2*z**2
+ 4*t*y*z*a**2*b**4*c**4*x**3
- 3*a**6*b**4*c**2*y**2*z**4
+ 3*a**4*b**2*c**6*x**2*y**4
+ 3*a**4*b**6*c**2*x**2*z**4
- a**6*b**6*z**6
- a**6*c**6*y**6
+ 5*b**6*c**6*x**6,

-3*a**2*b**6*c**4*x**4*z**2
+ 3*a**2*b**4*c**6*x**4*y**2
+ 9*a**6*b**2*c**4*y**4*z**2
+ 6*a**4*b**4*c**4*x**2*y**2*z**2
+ 4*t*x*z*a**4*b**2*c**4*y**3
- 3*a**4*b**6*c**2*x**2*z**4
+ 3*a**6*b**4*c**2*y**2*z**4
+ 9*a**4*b**2*c**6*x**2*y**4
- a**6*b**6*z**6
- b**6*c**6*x**6
+ 5*a**6*c**6*y**6,

-3*a**2*b**4*c**6*x**4*y**2
+ 3*a**2*b**6*c**4*x**4*z**2
+ 3*a**6*b**2*c**4*y**4*z**2
+ 6*a**4*b**4*c**4*x**2*y**2*z**2
+ 4*t*x*y*a**4*b**4*c**2*z**3
- 3*a**4*b**2*c**6*x**2*y**4
+ 9*a**4*b**6*c**2*x**2*z**4
+ 9*a**6*b**4*c**2*y**2*z**4
- a**6*c**6*y**6
- b**6*c**6*x**6
+ 5*a**6*b**6*z**6,

-1 + x**2/a**2 + y**2/b**2 + z**2/c**2
]

こんな式は人間の手では解く気にならない。コンピュータにより計算させると、八種類の式が答えとして出てくるが、x,y,z とも正になる下の回を選ぶ。

(3**(1/2)*(a**2)**(1/2)/3,
3**(1/2)*(b**2)**(1/2)/3,
3**(1/2)*(c**2)**(1/2)/3,
-9*3**(1/2)*(a**2*b**2*c**2
)**(1/2)/4

上の式ならば手計算で、したのような単純なものに直せる。この x,y,z の位置で三角錐が最小の体積となる。
(x,y,z) ≡(a/(3**(1/2)), b/(3**(1/2)), c/(3**(1/2))) -----(接触点 x,yz, 座標の式)