三角関数の問題を教えてください。

質問

三角関数の問題がどうしても解けません。

「cosＡ+cosＢ=sinＣ」の条件を満たす三角形ＡＢＣはどのような形の三角形か？

答えは∠Ａ=90°または∠Ｂ=90°の直角三角形になると思うのですが…。

よろしくお願いいたします。

回答No.2

ekitaigenzou · ベストアンサー

かなり怪しいですが．
ひとつの考え方ということで．．．

三角形なので， C = π - A - B

sinC = sin(π - A - B) = sin(A+B)

よって，問題は，
cosＡ+cosＢ=sinＣ = sin(A+B) ... (1)
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB (加法定理あってますか？)

cosＡ+cosＢ=sinＣ = sinAcosB+cosAsinB
変形して，
cosA(1-sinB)+cosB(1-sinA) = 0

両辺に cosAcosBを乗じて，
cosB(cosA)^2(1-sinB)+cosA(cosB)^2(1-sinA) = 0

(cosA)^2 = 1-sinA^2 , (cosB)^2 = 1-sinB^2　より

cosB(1-(sinA)^2)(1-sinB)+cosA(1-sinB^2)(1-sinA) = 0

cosB(1-(sinA))(1+(sinA))(1-sinB)+cosA(1-sinB)(1+sinB)(1-sinA) = 0

両辺を(1-sinA)(1-sinB)でくくると，

(1-sinA)(1-sinB){cosB(1+sinA)+cosA(1+sinB)}=0

これで因数分解できたので，
1-sinA=0
または，
1-sinB=0
または，
cosB(1+sinA)+cosA(1+sinB) = 0

1-sinA=0 より　sinA=1　より， A = π/2 +　2nπ 0<A<πより， A=π/2
1-sinB=0 より　sinB=1　より， B = π/2 +　2nπ 0<B<πより， B=π/2
cosB(1+sinA)+cosA(1+sinB) = 0 より変形すると，
cosB+cosA+sin(A+B)=0
これを (1)へ代入すると，
2sin(A+B)=0
A+B= nπ (n=0,1) c=π-(A+B)　に代入すると，C=0 または，πとなりこの解は不適．(0<C<πだから)

よって， A=π/2 または，B=π/2

ちょっと複雑に考えすぎたかもしれません．

それでは．

お礼

早々のご回答ありがとうございました。

たいへんよく理解できました。
数1の単元だというので、加法定理・和積の公式を考えていませんでした。