積分の問題です。先ほども質問させてもらいましたが、

質問

積分の問題です。先ほども質問させてもらいましたが、
自分なりに解いた答えと、皆さんの答えが違っていました。
どこが違うのか、考え方が違うのか教えてください。
※パソコンでの書き方が慣れていないため、かっこの付け方や
　途中式で見ずらいものがあると思います。お許しください。
次の定積分を求めよ。
　(1)∫(0～π/2)sin^2xcos^3xdx
　　　=∫(0～π/2)sin^2(1-sin^2)cosxdx
　　　=∫(0～π/2)(sin^2-sin^4)cosxdx
　　　=∫(0～π/2)sin^2(cosx)-sin^4(cosx)dx
　　　=[(1/3)sin^3x-(1/5)sin^5x](0～π/2)
　　　=(1/3-1/5)-0
　　　=2/15

　(2)∫(0～1)xtan^-1xdx
　　　t=tan^-1xとおくとx:0→1のときt:0→π/4
　　　　x=tant dx=1/(cos^2t)dt

　　　　∫(0～1)xtan^-1xdx
　　　　=∫(0～π/4)tant/cos^2tdt
　　　　=∫(0～π/4)(sint/cost)(1/cos^2t)dt
　　　　=∫(0～π/4)sint/cos^3tdt
　　　　=∫(0～π/4)(cos^-3t)(sint)dt
　　　　=[(1/2)cos^-2(t)](0～π/4)
　　　　=(1/2)(1/(1/√2)^2)-(1/2)(1/(1^2)
　　　　=1-(1/2)=1/2
と解きました。長くなりましたが、よろしくお願いします。

回答No.1

Tacosan · ベストアンサー

(1) はそれで OK.
(2) は最初の置換が間違ってる. t = tan^-1 x とおくと x = tan t, dx = (1/cos^2 x)dt なので
x tan^-1 x dx = (t tan t / cos^2 t) dt.
でもどうなんだろうなぁ. まわりくどいし元に戻っちゃったりもするけど, 部分積分した方が考えやすいかもしれん.
∫(0～1) x tan^-1 x dx
= [(x^2/2) tan^-1 x](0～1) - (1/2)∫(0～1) [x^2/(x^2+1)] dx
= π/8 - 1/2 + (1/2)∫(0～1) 1/(x^2+1) dx = π/4 - 1/2.

お礼

間違いがわかり、もう一度勉強してみます。
ありがとうございました。
部分積分を使っての解き方も教えていただき、とても感謝しています。
もう一度、自分の方法で解いてみて、部分積分も勉強したいと思います。
ありがとうございました。

回答No.2

info22_

前問で解答済みです。
結果は#1さんと同じですね。

(1)は合っていて
(2)は積分の2行目の式
>=∫(0～π/4)tant/cos^2tdt
が間違ってますね。
正しくは
=∫(0～π/4)tan(t)*t/cos^2tdt
でtが抜けていましたね。
なので以降の積分も間違ってしまっている。

お礼

たびたび、すみませんでした。
ありがとうございます。
ちょっと急ぎだったため、同じ問題を2度質問させてもらうと言う
大変失礼なことをしてしまいました。
本当に助かりました。ありがとうございます。