三角不等式について質問です．

質問

三角不等式について質問です．

|x+y| を下から評価する場合に

(1) |x|-|y|≦|x+y|
(2) ||x|-|y||≦|x+y|

の2通りの三角不等式を見ました．
(2)は左辺が(1)の左辺の絶対値になっているだけです．

ここで，任意の実数tに対して明らかにt≦|t|であることから，(1),(2)をまとめると
|x|-|y|≦||x|-|y||≦|x+y|

となりますよね．でもわざわざ2通りに分けてあるのは，状況によって評価の仕方を上手く変えていくということなのでしょうか？

証明は理解したのですが，ここのところが少し混乱してしまったのでお願いいたします．

回答No.1

vigo24 · ベストアンサー

(1),(2)は同じ式だと思いますが。

(1)は、xとyを入れ替えれば|y|-|x|≦|x+y|となります。
よって(1)は、|x|-|y|≦|x+y|かつ|y|-|x|≦|x+y|であり、
これは(2)と同じです。