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対称性を利用した問題
noname#119424の回答
一般的にはあなたの途中式から解くが、少し変わった証明をするよ。 (x+1)(y+1)(z+1)≦0 ということは (x+1)(y+1)(z+1)>0を満たす(x,y,z)が存在しないことと同値 つまり(x+1)(y+1)(z+1)>0・・・(＊) を満たす(x,y,z)が存在すると仮定しよう。 (＊)を満たす(x,y,z)の組み合わせとして x,y<-1 -1<z<0 と -1<x,y,z<0 のみ。 (1) -1<x,y,z<0のとき x+y+z<-3から矛盾 (2) x,y<-1 -1<z<0のとき x+y+z<-3となる(x,y,z)は存在するが x^2+y^2+z^2+2xyz=1について考えてみる。 今x,y<-1とすると z^2+2xyz+y^2<0・・・・・(＊)(＊) が成立する。 ここで(＊)(＊)が満足するようなzが-1<z<0であればよいが f(z)=z^2+2xyz+y^2とおいて f(z)のグラフからf(0)=y^2>0 f(-1)=1＋2xy＋y^2>0 軸はf(z)=z^2+2xyz+y^2=(z＋xy)^2＋y^2(1-x^2)から z=-xy<-1 がいえるので (＊)(＊)が満足するようなzが-1<z<0にあることに矛盾 以上からx,y<-1 -1<z<0 と -1<x,y,z<0とはならない ゆえに(＊)が成立することに反し、(x+1)(y+1)(z+1)≦0
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