行列の問題を解いてください＞＜

質問

行列の問題を解いてください＞＜

問題は画像です
よろしくお願いします

回答No.3

kabaokaba · ベストアンサー

(1)に関してはNo.2さんご指摘のように成分計算は煩雑

AX=XA，AY=YAなら
A(kX+lY)=k(AX)+l(AY)
=k(XA)+l(YA)
=(kX+lY)A

ってだけ

(2)は・・・これ対角化の問題ですな．
大学受験レベルだと全部成分計算するんだろうけど．

行列Aは異なる固有値をもつので
D=P^{-1}AP，Dは対角行列
とできる．

ここで，まずDY=YDなるYに対して
Y=kE+lDとなるk,lが存在することを示す．
ここで，
Dは対角行列で対角成分は値の異なる固有値なので
DY=YDよりYも対角行列となる．
したがって，Aの固有値が異なることより
このようなkとlは存在する（ここだけ成分計算）

さて，XA=XAなるXに対して
Y=P^{-1}XPとおく．
このYに対して
DY=DP^{-1}XP
=P^{-1}AXP
=P^{-1}XAP
=P^{-1}XPD
=DY
である．

DY=YDであるYに対して
Y=kE+lDと表せることはすでに示した．
したがって，
X=PYP^{-1}=kE+l(PDP^{-1})=kE+lA

よって，MはNの部分集合．
(1)よりNはMの部分集合だから，M=N

お礼

丁寧にご説明ありがとうございます。
ちゃんと理解できました！

回答No.2

Tacosan

(2) の, しかも「M ⊂ N」を示すときだけは成分を考えた方が簡単かもしれん.
それ以外はわざわざ成分を使わない方がはるかに楽.
例えば, (1) なんて X, Y ∈ M を M の定義を使って式にして, あとは (これも M の定義に従って) kX+lY ∈ M を示すだけ. むしろ, どこに困るところがあるのか, 見当もつかないレベル.

お礼

回答ありがとうございます
成分を考えるんですね、頑張ってみます！

回答No.1

R_Earl

もっと簡単に解ける方法があるかもしれません。

Xの各要素を文字式でおいてみましょう。
例えば
a b
c d
のような感じです。

後はAX = XAという方程式を立てて、
a, b, c, dに成り立つ関係を求めましょう。
その関係式を元に、文字数を減らしましょう。
そうすると、Xはa, b, c, dのうち2文字のみで表わされると思います。

例えばですが、行列Xは
a b
b a+(3/2)b
のような形になります
(例えばです。cやdを用いて表現する方法もあります。
また、計算ミスがあるかもしれません)。
とりあえず行列Xがこの形で表わされると仮定して話を進めます。

(1)
集合Mは
a b
b a+(3/2)b
という、行列Xの形式で表わされる行列の集合です。
この行列を眺めると、集合Mに属する行列は
・1行1列目はどんな数でも良い
・1行2列目もどんな数でも良い
・2行1列目は1行2列目と同じ数
・2行2列目は1行1列目の数に1行2列目の数を3/2倍したものを加えた数
という条件を満たすという事が分かります。
これが「集合Mに属する行列の条件」です。

kX + lYが集合Mに属するかどうかを示したいなら、
Mに属する行列X, Yを文字式でおき、
kX + lYを実際に計算します。
その上でkX + lYが先ほどの「集合Mに属する行列の条件」を
満たすかどうかを調べれば良いです。

X,Yをどう文字式でおくかに関しては、例えばXは
s t
t s+(3/2)t
Yに関しては
u v
v u+(3/2)v
とでもおけばよいです。

(2)
(1)と同じです。
Nに属する行列(kE + lA)を文字式を使って表します。
あとはこの行列が「集合Mに属する行列の条件」を満たすかどうかを調べればよいです。
同様にMに属する行列Xが「集合Nに属する行列の条件」を満たすかどうかを調べればよいです。

集合Nに属する行列の条件がどうなるかは考えてみてください。

お礼

丁寧にありがとうございます！