★コーシーの判定法（N-ε論法）の証明問題について★

質問

★コーシーの判定法（N-ε論法）の証明問題について★

コーシの判定法はm, n ≧Nならば|a_n - a_m|<εとなるNを選ぶことが出来る

ということでこの言いたいことはわかるのですが、

いざ問題を解くとなると手が進みません...(><)

画像にその解くことができなかった問題を添付したので、

この解説をお願いします!!

易しく詳しい解説でお願いします!!m(_ _)m

回答No.1

Anti-Giants · ベストアンサー

(1)
まず、任意に|x|<r、となるrを固定する。
このrに対して、r<2k(r)+2、となるk(r)をとる。
この両辺の比をR=r/(2k(r)+2)、とおく。

x^{2k}/(2k)!
=x^{2k(r)}/(2k(r))!×x^{2k-2k(r)}/(2k)（2k-2)...(2k(r)+2)
<CR^{2k-2k(r)}
=CR^{2k}
記号のが増えるのを抑えるために同じCを用いた最後のCはC=CR^{-2k(r)}。
もちろん、Cもrに依存するからC=C(r)とかくべき。

|Σ[0,n]x^{2k}/(2k)!-Σ[0,m]x^{2k}/(2k)!|
=|Σ[m,n]x^{2k}/(2k)!|
=Σ[m,n]|r^{2k}/(2k)
<Σ[m,n]CR^{2k}
=CR^{2m}(1-R^{2n-2m+2})/(1-R^2)

R<1よりこの極限は0に収束する。

(2)
R=r/(2k(r)+1)

x^{2k+1}/(2k+1)!
=x^{2k(r)-1}/(2k(r)-1)!×x^{2k+1-(2k(r)-1)}/(2k+1)（2k-1)...(2k(r)+1)
<CR^{2k-2k(r)+2}

あとは(1)と同様。

極限値のヒントは
e^x=Σ[0,∞]x^n/n!
に対して、x=1,-1の場合について計算する。

お礼

ありがとうございました。