大学受験生のための漸近線に関する質問
- 大学受験生が漸近線について質問をしています。関数f(x)=xe^(1/(a+x))の無限大のとき、y=x+1が漸近線になることを示す方法を教えて欲しいという内容です。
- 質問者はx+1-f(x)の無限大が0になることを示し、勝手にf(x)がx+1に下からちかずくと思ってグラフを描いてしまいましたが、答えを見るとf(x)はx+1に上からちかずいていました。よって、f(x)がどちらからちかずくのかを事前に調べる方法があれば知りたいとしています。
- 質問者はf(x)がx+1に上からちかずくことはわかっているが、f(x)がどちらからちかずくのかを事前に調べる方法があれば知りたいとしています。質問者は大学受験生であり、この問題についてなるべく簡単に理解したいと思っています。
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漸近線
大学受験生です。次の問題なのですが、わからない事があります。よろしくお願いいたします。 aを正の定数とする。関数f(x)=xe^(1/(a+x)) (x>0)について、 xが無限大のとき、y=x+1が漸近線になることを示しなさい。 私は、何も考えずに x+1-f(x) の無限大が0になることをしめしました。そして、勝手にf(x)は、x+1に下からちかずくと思ってグラフを書きました。（今度から気をつけます） 答えを見るとf(x)は、x+1に上からちかずいていました。私の式を良く確かめると、確かに極限は-0（正しい言い方がわかりませんが、マイナスから０にちかずくということです。）でした。それで、上からちかずくということはわかったのですが。 私がわからないのは、極限を調べる前に、おおざっぱでも、f(x)がどちらからちかずくのか、わかる方法がないのか？ということです。 もし、そのような方法があれば、教えていただきたいです。よろしくお願いします。
- ayakakaya
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受験生に受験後の話をするのもどうかと思いますが、 テイラー展開という技があります。 まあ、この場合には難しいことを言わずに e^x>=1+xを使えば出るのではないでしょうか。 これなら高校生でも示せますね。 ただし、未確認です。 わからないところがあったら聞いてください。
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いつもお世話になり、ありがとうございます。今回も宜しくお願い致します。 今回は問題ではなく、私自身の疑問についてなのですが、数IIIのグラフを描く際に求める漸近線についてです。 例えば、f(x)=(x^2+x-5)/(x-2)のグラフの漸近線を求める場合、 f(x)=(x+3) + {1/(x-2)} という形に変形させて、漸近線はy=x+3とx=2だと求められると思います。 そこで質問なのですが、漸近線の関数は上のように必ず1次関数なのでしょうか。 解いていた問題の中で、 y= x^2 + (1/x^2) のグラフを求める問題があって、この場合、1/x^2という分数関数の前のx^2は漸近線になるのではないかと思いました。 理由は、x→∞のとき、{f(x)-x^2}→0 になるからです。 でも、（確実に私の経験不足ですが）いままでに漸近線は1次関数以外見たことがないため、私が間違っているのか分からず困っています。 数IIIのグラフを描く際の漸近線は必ず1次関数までなのでしょうか。 お手数をおかけしますが、宜しくお願い致します。
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お礼
回答どうもありがとうございました！お礼が遅くて、ごめんなさい。テイラー展開は聞いたことがありますが、大学までその楽しみをとっておきますね！下の方ので、やってみます！ありがとうございました。