- ベストアンサー
(-π,π)上で次の関数のフーリエ級数を求めよ、という問題なのですが
- みんなの回答 (2)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
(1),(3)はf(-x)=f(x)なので遇関数。 偶関数のフーリエ級数展開の公式を適用して計算すれば良いですね。 bn=0 (nは1以上の整数) (1) a0/2=π/2 an=(2/π)∫[0,π](π-x)cos(nx)dx (nは1以上の整数) (3) a0/2=(1/π)∫[0,π] sin(x)dx=2/π an=(2/π)∫[0,π] sin(x)cos(nx)dx (nは1以上の整数) (2)はf(-x)=-f(x)なので奇関数。 奇関数のフーリエ級数展開の公式を適用して計算すれば良いですね。 an=0 (nは0以上の整数) bn=(2/π)∫[0,π] x(π-x)sin(nx)dx (nは1以上の整数) 上のan,bnの積分計算は簡単なので出来ますね。 もし積分がわからないときは補足にやった途中計算を書いて行き詰った所を訊いて下さい。
その他の回答 (1)
- R_Earl
- ベストアンサー率55% (473/849)
高校数学の時と同じ考え方で良いと思います。 絶対値の記号は外してしまいましょう。 xが負の数の時(x < 0の時)、|x| = -x。 xが0以上の数の時(0 ≦ xの時)、|x| = x です。 なので例えば(1)なら f(x) = π + x (x < 0) f(x) = π - x (0 ≦ x) と場合分けしてからフーリエ級数を考えれば良いのではないでしょう。
お礼
分かりました。ありがとうございます。
関連するQ&A
- フーリエ級数の問題です。
フーリエ級数の問題です。 (1)、αはZの要素ではないとする。f(x)は周期2πの関数で、f(x)=cosαx、(-π<x≦π)を満たすとする。R上でフーリエ級数に展開せよ。 (2)、得られたフーリエ級数にx=0を代入し、1/sinπαをあらわす級数をもとめよ。また、得られたフーリエ級数にx=πを代入して、1/tanπαxをあらわす級数をもとめよ。(どちらとも、部分分数分解) よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- フーリエ級数で分からない問題があります
次のフーリエ級数の問題が分かりません 周期2をもつ次の関数f(x)のフーリエ級数を求めよ f(x)=0 (-1<x<0), f(x)=cosπx (0<x<1), f(0)=1/2, f(1)=f(-1)=-1/2. 途中計算もお願いします
- 締切済み
- 数学・算数
- フーリエ級数の問題です。
フーリエ級数の問題です。 1.fは周期2πの関数で次を満たす。f(x)=0(-π<x≦0)or f(x)=x(0<x≦π) (1)fをフーリエ級数展開し、各点収束定理を用いて収束を調べよ。 (2)x=π/2を代入してπの値を求める級数を作れ。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- フーリエ級数の問題
f(x)は周期2πをもつとする。 f(x)のフーリエ級数を求める。 (1)f(x)=x(-(π/2)<x<(π/2)),π-x((π/2)<x<(3π/2)), この条件でフーリエ級数を求めると、 グラフを描くと奇関数になるので、a0=0,an=0, bn=(4/nの2乗π)sin(π/2)n したがってフーリエ級数は、 f(x)=(4/π){sinx-(1/9)sin3x+(1/25)sin5x-・・・} でいいのでしょうか? (2)f(x)=xの2乗(-(π/2)<x<(π/2)),π/4((π/2)<x<(3π/2)), グラフを描くと、偶関数になったので、bn=0, a0=(πの2乗)/6, an=(2/π){(π/nの2乗)cos(π/2)n-(2/nの3乗)sin(π/2)n} よって、 f(x)=((πの2乗)/6)+(2/π){-2cosx-(π/4)cos2x+(2/27) cos3x+・・・} これでいいのでしょうか? ご回答よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- フーリエ級数について
次の問題を解いてください。 f(x)を区間-π≦x≦πで連続かつf(-π)=f(π)をみたし、その導関数f'(x)が区分的に連続な関数とする。f(x)が、 F(x)=a_0/2+Σ[n=1,∞](a_n cos(nx)+b_n sin(nx)) とフーリエ級数に展開されるとき、以下の問いに答えよ。 (1)f'(x)をフーリエ級数に展開したときの展開係数をa_n,b_nを用いて表せ。 (2)(1)式の右辺をxで微分し(フーリエ級数の項別微分)、これを(1)と比較せよ。 くわしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- フーリエ級数
こんにちは。つぎの問題がわからず困っています。 周期2πの奇関数f(x)がある。この関数はf(x)=Σbn・sin(nx) (nは1から∞まで) とフーリエ級数展開されるものとする。 (1)関数f(x)がf(x+π)=-f(x)の関係を満たすためのbnの条件を導け。 (2)(1)のとき、関数g(x)=f(x+4π/3)-f(x-4π/3)を、bnを用いてフーリエ級数展開せよ。というもんだいで (1)は与式のxにx+πを入れるとsinがnx+nπとなり、nが奇数のとき この値は-sinnxとなり偶数のときsinnxとなることから、bnの条件はnが奇数のとき、bnは正、偶数のときbnは負という条件にしました。 (2)は変形して(1)の条件を使いいろいろ変形してみましたが、どのようにしてもうまくいきません。 どなたかおねがいします。
- 締切済み
- 数学・算数
- フーリエ級数の問題です
f(x)= x (-π<= x <=π) のフーリエ級数を用いて無限級数和 (1) Σ[n=1~∞] Σ 1/n^2 (2) Σ[n=1~∞] (-1)^n/n^2 を求めよという問題ですが、フーリエ級数は求められて f(x)= 2Σ[n=1~∞] {(-1)^n+1}*sin(nx)/n になるけれど、xに何を代入すればいいかわかりません。御回答よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- フーリエ変換の問題(複素フーリエ級数)
フーリエ変換の問題(複素フーリエ級数) 次の-L≦X≦Lで定義された関数f(x)を f(X+2nL)=f(x)により -∞<x<∞に拡張した周期関数の複素フーリエ級数展開を求めよ f(x)=0(-L≦X<0), 1(0≦X<L) この問題が解けないので、どなたか教えてほしいです。 f(x)=xのようなかんじだったらとけるのですが、この問題のような形式だと、詰まってしまいます・・・
- ベストアンサー
- 数学・算数
- フーリエ級数についてです。
フーリエ級数についてです。 区間[-π,π]で定義された関数f(x)=xで定義された周期2πの関数についてフーリエ級数の問題を解けという問題があるんですけど、この場合f(x)=xは周期2πなんでしょうか? 周期関数2πの定義は関数f(x)がf(x+2π)=f(x)を満たすときですよね? この定義にf(x)=xが当てはまるとは思えないのですが。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
全部できました。ありがとうございます。