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三角関数タンジェントについての
台形ABCDがありAD平行BC、AD=3、BC=5、∠B=α、∠C=βとする。 (1)台形の面積Sをα、βを用いて表せ。 (2)α+β=135°のときSの最大値を求めよ。 という問題です (1)S=8tanαtanβ/(tanα+tanβ) とでました。 (2)β=135°-αだから(1)で出た式に代入すると・・・ S(α)=8tanαtan(135°-α)/{tanα+tan(135°-α)} tanα(tan135°-tanα) / (tan135°-tanα) =8---------------------------- / tanα+------------------ (加法定理で) 1+tanαtan135° / 1+tanαtan135° tanα(-1-tanα) / (-1-tanα) =8-------------------- / tanα+--------------- 1-tanα / 1-tanα =8tanα(-1-tanα)/(-tan^{2}α-1) =8tanα(1+tanα)/(tan^{2}α+1) (=8(sinαcosα+sin^{2}α) ) α=135°-βより0°<α<135° ここから最大値がでません。 途中あってるのか心配です。
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0≦α≦π/2 0≦β≦π/2で sinα+cosβ=5/4 sinβ+cosα=5/4 のとき sin(α+β),tan(α+β)の値を求めよ。 という問題なんですけど sin(α+β)は上の2式の両辺を二乗して片々くわえて加法定理でチョコチョコとやって9/16と出てきます。 tanはsinからcosを求めてtan^2=81/175と出るんですがここで問題なのは、α+βの範囲が分からないので±の決定が出来ません・・・ 0≦α≦π/2 0≦β≦π/2より単純に0≦α+β≦πって出来ないと思うんですけど・・・(∵αが変わればβも変わる) まずココまで僕の言ってることはあってますか? 少し考えたのは sinα+cosβ=5/4 sinβ+cosα=5/4 のsinとcosを入れ替えても全く式が変わらないのでα=π/2-α β=π/2-β とすることができて0≦α+β≦π/2といえるならπ/2≦α+β≦π なるα+βも存在する(逆もまたいえる) って感じなんですけど、ここで分からないのは 0≦α+β≦π/2もしくわπ/2≦α+β≦πが存在することを言わないといけないんでしょうか? それとも0≦α+β≦πの範囲で存在しているからもう{証明終わり}でいいんでしょうか? 誰か教えてください。お願いします
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補足
8sinαsinβ/sin(α+β) 2sinαsinβ=sin(α+β)+sin(α-β) だから 4{sin(α+β)+sin(α-β)}/sin(α+β) =4{sin135°+sin(α-β)}/sin135° =4{1+√2sin(α-β)} sin(α-β)=1(α-β=90°)のときSmax Smax=4{1+√2} 答えはあってるけど α-β=90° α+β=135° この連立方程式ではα=112.5°、β=22.5°となってしまいます。 どこか間違いました?