f(x)+∫f(t)=sinxのときf(x)は？

質問

関数f(x)は微分可能でf(x)は連続としf(x)は関係式
f(x)+∫[0～x]f(t)=sinx
の式を満たしている。という問題です。(1)～(4)は解けたつもりです。しかし。

(1)f(x)+f´(x)の関係式は？――――f(x)+f´(x)=cosx
(2)(d/dt)f(x)e^xを求めよ。――――(d/dt)f(x)e^{x}=e^{x}(f(x)+f´(x))=e^{x}cosx
(3)∫[0～x]e^{t}(sint+cost)=∫[0～x]e^{t}(sint-cost)+e^{x}(sinx+cosx)-1の証明
(4)∫[0～x]e^{t}costを求めよ。――――∫[0～x]e^{t}cost=[e^{x}(sinx+cosx)-1]/2
(5)f(x)は？

という問題です。(1)～(4)は解けたつもりです。しかし(5)が解けません。(1)～(4)をどう使えばいいの？

回答No.3

fushigichan · ベストアンサー

＃２です。

＞(d/dt)f(x)e^xの積分がf(x)e^x-f(0)e^0になるのがいまいちよくわかってません。

f(x)e^xという関数を、（f(x)にe^xをかけた関数）
f(x)e^x=g(x)とおいてみましょう。
f(x)e^xはxの関数だから、g(x)とおいてもいいですよね。

さて、
(d/dt)f(t)e^t=g'(t)
この不定積分
∫(d/dt)f(t)e^tdt=∫g'(t)dt=g(t)+Cとなりますが、
[0→x]という範囲で定積分すると、
∫[0→x](d/dt)f(t)e^tdt=[g(t)]0→x
=[f(t)e^t]0→x
=f(x)e^x-f(0)e^0
でよろしいでしょうか。

＞PS．このf(x)+∫[0～x]f(t)dt=sinx
は誘導なしに解けるものなのでしょうか？

誘導なしというのは、(1)～(5)の小問なしに、ということですよね。
難しいのではないでしょうか・・・

一般に、
dy/dx=f(x)y+g(x)
の形になる微分方程式を、線形方程式といいます。
yとその導関数y'についての一次式の形だからそう呼びます。
これを解くにはまず、変数分離形
y'=f(x)y　の解を求めるようにします。
こういった手順は、誘導なしには、難しいと思います。
大学では解析学で一階線形微分方程式の解法として学びます。

上のような解説は、「解法の手引き数学３」（矢野健太郎）
には触れていますが、「チャート式数学３」には載っていません。
チャート式には、変数分離型の微分方程式までくらいしか書かれていませんでした。
かなり、ハイレベルかなあという気がしました。

ONEONEさんの問題は、いつもかなり水準高いですね。
本問でも、まずは誘導つきで、ある程度できて
解説を読んで納得できれば、よしとしていいのではないでしょうか。
ご参考になればうれしいです。

お礼

補足で質問させていただいた箇所は理解できました。

ＰＳのところは「難しい」のであって「できない」わけではないのですよね。
できるかできないかだけ少し気になったものですから。
＞いつもかなり水準高い
なにやら問題の左上に「標準」のマークが打ってあるのですが気のせいでしょうか（笑）
誘導がついていることでかなり簡単になったのでしょうね。
変数分離型の微分方程式は物理で使ってますので初歩のところはわかっているのですが。
またまた、どうもありがとうございました。