f(x)+∫f(t)=sinxのときf(x)は？

質問

関数f(x)は微分可能でf(x)は連続としf(x)は関係式
f(x)+∫[0～x]f(t)=sinx
の式を満たしている。という問題です。(1)～(4)は解けたつもりです。しかし。

(1)f(x)+f´(x)の関係式は？――――f(x)+f´(x)=cosx
(2)(d/dt)f(x)e^xを求めよ。――――(d/dt)f(x)e^{x}=e^{x}(f(x)+f´(x))=e^{x}cosx
(3)∫[0～x]e^{t}(sint+cost)=∫[0～x]e^{t}(sint-cost)+e^{x}(sinx+cosx)-1の証明
(4)∫[0～x]e^{t}costを求めよ。――――∫[0～x]e^{t}cost=[e^{x}(sinx+cosx)-1]/2
(5)f(x)は？

という問題です。(1)～(4)は解けたつもりです。しかし(5)が解けません。(1)～(4)をどう使えばいいの？

回答No.2

fushigichan

ONEONEさん、こんばんは。
大変難しい微分方程式ですね。

＞f(x)+∫[0～x]f(t)=sinx・・・（☆）
＞(1)f(x)+f´(x)の関係式は？

y=f(x)の原始関数をy=F(x)とすると、
F'(x)=f(x)

（☆）の両辺をｘで微分すると
f'(x)+d/dx{F(x)}=cosx
d/dx{F(x)}=F'(x)=f(x)であるから
f'(x)+f(x)=cosx

＞(2)(d/dt)f(x)e^xを求めよ。

(fg)'=f'g+fg'　の公式にあてはめると、
(d/dt)f(x)e^x=f'(x)e^x+f(x)e^x=(f'(x)+f(x))e^x
=e^x*cosx

＞(3)∫[0～x]e^{t}(sint+cost)=∫[0～x]e^{t}(sint-cost)+e^{x}(sinx+cosx)-1の証明

∫f'g=fg-∫fg'　の公式にあてはめて考える。
f=e^x
g=(sinx+cosx)とおくと、
f'=e^x
g'=(cosx-sinx)=-(sinx-cosx)

∫[0→x]e^t(sint+cost)dt=e^x(sinx+cosx)-∫[0→x]e^t(cost-sint)dt+C
と表せる。
このとき、x=0とすると、左辺は０右辺は１＋Ｃ
ゆえに、Ｃ＝－１
よって、
∫[0→x]e^t(sint+cost)dt=e^x(sinx+cosx)+∫[0→x]e^t(sint-cost)dt-1
という式が証明されました。

＞(4)∫[0～x]e^{t}costを求めよ

(3)より、
左辺＝∫[0→x]e^tsintdt+∫[0→x]e^tcostdt
右辺＝∫[0→x]e^tsintdt-∫[0→x]e^tcostdt+e^x(sinx+cosx)-1
整理すると、
2∫[0→x]e^tcostdt=e^x(sinx+cosx)-1
ゆえに、
∫[0→x]e^tcostdt={e^x(sinx+cosx)-1}/2

＞(5)f(x)は？

(2)より、０からｘまで積分すると
f(x)e^x-f(0)e^0=∫[0→x]e^t*costdt
ゆえに、f(x)e^x=∫[0→x]e^t*costdt

(4)より、
∫[0→x]e^tcostdt={e^x(sinx+cosx)-1}/2
であったから、これがf(x)e^xと等しいので
両辺e^xで割ってやると、
f(x)={e^x(sinx+cosx)-1}/2e^x
f(x)=(sinx+cosx)/2-1/2e^x

ということになると思います。
f(x)={e^x(sinx+cosx)-1}/2e^x のほうがきれいかな？

ご参考になればうれしいです。

補足

(1)～(4)までも解説していただいてありがとうございます。

(d/dt)f(x)e^xの積分がf(x)e^x-f(0)e^0になるのがいまいちよくわかってません。

PS．このf(x)+∫[0～x]f(t)dt=sinx
は誘導なしに解けるものなのでしょうか？