(背理法で)[問]3≦e∈Nの時,既約剰余類全体の集合Z_{2^e}^

質問

(背理法で)[問]3≦e∈Nの時,既約剰余類全体の集合Z_{2^e}^×は巡回群にはならない事を示せ。

を背理法で示したいのですが

<a>=Z_{2^e}^×なる生成元a∈Z_{2^e}^×があったと仮定するとどのような矛盾に辿り着きますでしょうか?

回答No.1

yoikagari · ベストアンサー

簡単のためA=Z_{2^e}^×とおく

Aの元で、位数が2^(e-1)となるものは存在しないというのがポイントです。
要するに、Aの任意の元は2^(e-2)乗すると単位元になってしまうのです。

まず、補題として以下を示します。
mを奇数、kを正の整数とすると、m^(2^k)≡1 (mod 2^(k+2) )が成り立つ。…※
※の証明
mは奇数より、整数nを用いてm=2n+1と書けます。
k=1のとき
m^2-1=4n(n+1)
nが偶数のとき
整数tを用いてn=2tと書けます。
4n(n+1)=8t(2t+1)より4n(n+1)は8で割り切れます。
nが奇数のとき
整数tを用いてn=2t+1と書けます。
4n(n+1)=8(t+1)(2t+1)より4n(n+1)は8で割り切れます。
いずれにせよ、4n(n+1)は8で割り切れます。
以上よりm^2≡1 (mod 8)が成り立つ
即ち、k=1のときm^(2^k)≡1 (mod 2^(k+2) )は成立する。

k=hのとき
m^(2^h)≡1 (mod 2^(h+2) )が成り立つと仮定します。
このとき、整数Lを用いてm^(2^h)-1=2^(h+2)*Lと書けます。

k=h+1のとき
m^(2^(h+1) )-1=(m^(2^h)-1)(m^(2^h)+1)=(2^(h+2)*L)(2^(h+2)*L+2)=2^(h+3)*L*(2^(h+1)*L+1)
となるから、m^(2^(h+1) )≡1 (mod 2^(h+3) )が成り立ちます。
したがって、k=h+1のときもm^(2^k)≡1 (mod 2^(k+2) )は成立します。

よって数学的帰納法により、任意の正整数kに対してm^(2^k)≡1 (mod 2^(k+2) )は成立する。
※の証明ここまで

※よりeが3以上の整数とするとき、Aの任意の元bに対して、b^{2^(e-2)}=1_Aが成立します。
(ただし、上記の1_AはA=Z_{2^e}^×の乗法における単位元とします)
したがって、A=Z_{2^e}^×の位数は2^(e-1)であることを考慮すると、Aには、生成元が存在しないことが分かります。

お礼

バッチシです。

どうもありがとうございました。m(_ _)m