微分方程式について

質問

y''-2y'+y=e^xについて

1　y=(e^x)vと置くとき、v=v(x)を満たす微分方程式を求めよ

2　１で求めたvに対する微分方程式の一般解、およびyの一般解を求めよ

という問題が出されたんですが、どの本を見ても「一般解をもとめよ」
「特殊解を求めよ」という問題ばかりで、上記の問題の解き方が全く分かりません。よろしければご指導よろしくお願いします。

回答No.3

Knotopolog · ベストアンサー

以下が解法です．読み取って下さい.

y''－2y'＋y＝e^x について

　y＝(e^x)v
　y'＝(e^x)'v＋(e^x)v'＝(e^x)v＋(e^x)v'＝(e^x)(v＋v')

　y'＝(e^x)(v＋v')

　y''＝(e^x)'(v＋v')＋(e^x)(v＋v')'
　y''＝(e^x)(v＋v')＋(e^x)(v'＋v'')
　y''＝(e^x)(v＋v'＋v'＋v'')
　y''＝(e^x)(v＋2v'＋v'')

　y''－2y'＋y＝(e^x)(v＋2v'＋v'')－2(e^x)(v＋v')＋(e^x)v＝e^x

　(e^x)(v＋2v'＋v'')－2(e^x)(v＋v')＋(e^x)v＝e^x
　(v＋2v'＋v'')－2(v＋v')＋v＝1
　v＋2v'＋v''－2v－2v'＋v＝1
　v＋v''－2v＋v＝1
　v''＝1

１の答え：　　v''＝1

v''＝1　を x で積分すると

v'＝x＋A　

更に x で積分すると

v＝(1/2)x^2＋Ax＋B,　・・・　v''＝1　の一般解

　A　と　B　は積分定数です．

v＝(1/2)x^2＋Ax＋B　を　y＝(e^x)v　に入れると

　y＝(e^x)[(1/2)x^2＋Ax＋B]

２の答え：

　v　に対する微分方程式の一般解は，v＝(1/2)x^2＋Ax＋B

　y　の一般解は，　y＝(e^x)[(1/2)x^2＋Ax＋B]

お礼

ここまでご丁寧にありがとうございます。
やりたいことが大体わかってきました。

回答No.4

alice_38

そうかなあ？
質問文中に書いてあるようなことが「解法」で、
No.3 は、その解法に従った計算のメモ
だと思うのだけれど。

お礼

どういう意味なんでしょうか？
少し混乱してきました。
あの解答では間違いなんですか？

回答No.2

alice_38

解き方は、問題文の誘導通り、
小問 1 2 の順で実行するだけです。

1
言われた通り y=(e~x)v を代入すれば、
y が消えて、v の微分方程式に化けます。

2
上で得られた v の微分方程式は、
定係数線型微分方程式です。
これの解き方は、必ず勉強しておかなければ
いけません。
本を読んで、導出はともかく、
結果だけは覚えておくこと。

v が求まれば、y は y=(e~x)v から解ります。

大学の教科書には、教科書ガイドが無いので、
たいへんですね。

回答No.1

Tacosan

とりあえず 1 だけ: 「y = (e^x)v と置い」て v(x) の満たす微分方程式を求める, って書いてあるんだからやることはほぼ自明では?

お礼

ありがとうございます。何とかがんばってみます