極限の問題

質問

数学の極限の問題で、
「任意のp＞０に対して、x^p*e^(-x)→０(x→∞)であることを証明せよ」
という問題が、わかりません；

回答いただけたら嬉しいです＞＜

回答No.1

naniwacchi · ベストアンサー

高校数学の範囲だけでの証明は難しいですね。
まず、
x^p* e^(-x)= x^p/e^x

と分数の形にしておいてから考えることにします。

・ひとつは「ロピタルの定理」を繰り返し使う方法です。
分子、分母がともに不定形(単独では無限大に発散)となるので、適用します。
ただし、不定形が続くので定理を繰り返し適用します。

lim x^p/e^x
= lim p*x^(p-1)/e^x
= ・・・
= lim p*(p-1)*・・・*(p-[p])* x^(p-[p]-1)/e^x （[]はガウス記号）

p-[p]-1について、p-[p]は pの小数部分を表しており、全体では p-[p]-1＜ 0となります。
結果、(定数)/(x^q* e^x)の形になるので、分母→∞より極限値は 0となります。

・もうひとつは、e^xのテイラー展開を用いる方法です。
テイラー展開を用いると、e^x= Σ[n=0～∞] x^n/n!と表されます。
これを代入して

lim x^p/e^x
= lim x^p/(Σx^n/n!)
= lim 1/(Σx^(n-p)/n!)
= 0

テイラー展開の式が
e^x= 1+ x+ x^2/2!+ ・・・+ x^[p]/[p]!+ x^([p]+1)/([p]+1)!+ ・・・

となり、分母・分子の割り算をしても、[p]+1乗以上の項が残ることから 0に収束するという内容です。

もしかすると、詰めが甘いところがあるかもしれません。

お礼

回答ありがとうございます！
助かりました＞＜

回答No.3

alice_38

書いてみよう。

(x~p)(e~-x) = 1/f(x) と置くと、
f ' (x) = (e~x)(x-p)/x~(p+1)
f '' (x) = (e~x)(x~2-2px+p~2-p)/x~(p+2)
となる。

x が十分大きいと、f ' も f '' も正になるから、
ある m が在って、x ＞ m のとき
f '' (x) ＞ 0
f ' (x) ＞ f ' (m) ＞ 0
f(x) ＞ f(m) + f ' (m) ・ (x-m)
が成り立つ。

よって、x→+∞ のとき
f(x)→+∞ であり、
1/f(x)→0 。

お礼

回答ありがとうございました。
参考にさせていただきました。

回答No.2

alice_38

1/( (x^p)(e^-x) ) の増減表を書く。

お礼

回答ありがとうございました！